Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 269 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами 269
2.
◦
если q > 1, то ряд
∞
P
k=1
a
k
расходится;
3.
◦
если q = 1, то ряд
∞
P
k=1
a
k
может быть как сходя-
щимся, так и расходящимся.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. Пусть ε > 0, q
0
B q + ε <
< 1. Тогда a
k+1
6 q
0
a
k
∀k > k
ε
. По теореме 4 ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится.
2
◦
. Пусть q > 1. Тогда a
k
> 1 ∀k > k
0
. По теореме 4
ряд
∞
P
k=1
a
k
расходится.
3
◦
. Для ряда
∞
P
k=1
1
k
α
, α > 0, выполнено условие
a
k+1
a
k
=
k
α
(k + 1)
α
=
1
1 +
1
k
α
→ 1 (k → ∞).
Однако при 0 < α 6 1 ряд
∞
P
k=1
1
k
α
расходится, а при α > 1
— сходится.
Пример 4. Для ряда
∞
P
k=1
a
k
, a
k
=
k!
k
k
имеем
a
k+1
a
k
=
=
k
(k + 1)
k
=
1 +
1
k
−k
→ e
−1
< 1 при k → ∞. Следова-
тельно ряд сходится.
Теорема 6 (признак Коши). Пусть a
k
> 0 ∀k ∈ N.
Тогда
1.
◦
если существует число q < 1 такое, что при некото-
ром k
0
∈ N
k
√
a
k
6 q < 1 ∀k > k
0
,
то ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится;
2.
◦
если
∀k
0
∈ N ∃k > k
0
:
k
√
a
k
> 1,
    § 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами            269
                              ∞
   2.◦ если q > 1, то ряд
                              P
                                   ak расходится;
                             k=1
                                   ∞
   3.◦ если q = 1, то ряд
                                   P
                                        ak может быть как сходя-
                                  k=1
       щимся, так и расходящимся.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Пусть ε > 0, q 0 B q + ε <
                                                           ∞
< 1. Тогда ak+1 6 q 0 ak ∀ k > kε . По теореме 4 ряд
                                                          P
                                                             ak
                                                              k=1
сходится.
   2◦ . Пусть q > 1. Тогда ak > 1 ∀ k > k0 . По теореме 4
    P∞
ряд     ak расходится.
    k=1
                      ∞
   3◦ . Для ряда
                      P  1
                        k α , α > 0, выполнено условие
                   k=1
          ak+1      kα          1
               =          =        α → 1         (k → ∞).
           ak    (k + 1)α    1 + k1
                                 ∞
Однако при 0 < α 6 1 ряд
                                 P  1
                                   k α расходится, а при α > 1
                                 k=1
— сходится.
                            ∞
                                                   a
                               ak , ak = k!k имеем ak+1
                           P
   Пример 4. Для ряда                                   =
                           k=1           k           k
          k        −k
= (k +k      =  1 + 1     → e−1 < 1 при k → ∞. Следова-
        1)          k
тельно ряд сходится.
   Теорема 6 (признак Коши). Пусть ak > 0 ∀ k ∈ N.
Тогда
   1.◦ если существует число q < 1 такое, что при некото-
       ром k0 ∈ N
                     √k
                        ak 6 q < 1 ∀ k > k0 ,
              P∞
       то ряд    ak сходится;
                k=1
   2.◦ если
                                              √
                      ∀ k0 ∈ N   ∃ k > k0 :   k
                                                  ak > 1,

Страницы