Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 271 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15.3. Абсолютно сходящиеся ряды 271
По теореме 6 ряд
∞
P
k=1
a
k
расходится.
3
◦
. Ряд
∞
P
k=1
1
k
2
сходится, ряд
∞
P
k=1
1 расходится, хотя для
каждого из них ∃ lim
k→∞
k
√
a
k
= 1.
Пример 5. Ряд
∞
P
k=2
a
k
, a
k
=
1 −
1
k
k
2
, сходится по
признаку Коши, т. к.
k
√
a
k
=
1 −
1
k
k
→ e
−1
< 1 при k →
→ ∞.
Упражнение 3. Показать, что признак Коши сильнее
признака Даламбера в том смысле, что если сходимость
ряда можно установить с помощью признака Даламбера,
то это можно сделать и с помощью признака Коши.
З а м е ч а н и е 1. Признаки Даламбера и Коши,
как видно из их доказательств, основаны на сравнении схо-
димости рассматриваемого ряда со сходимостью геометри-
ческой прогрессии
∞
P
k=0
q
k
. Этим, в частности, можно объяс-
нить, что они непригодны для выяснения сходимости рядов
∞
P
k=1
1
k
α
при α > 0.
Существует много других более тонких признаков, да-
ющих достаточные условия сходимости числового ряда.
§ 15.3. Абсолютно сходящиеся ряды
Определение 1. Ряд
∞
P
k=1
a
k
называется абсолютно
сходящимся, если сходится ряд
∞
P
k=1
|a
k
|.
Теорема 1. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
                 § 15.3. Абсолютно сходящиеся ряды             271
                       ∞
                       P
По теореме 6 ряд             ak расходится.
                       k=1
            ∞                   ∞
      3◦ . Ряд
           P   1 сходится, ряд P 1 расходится, хотя для
           k=1
               k2              k=1
                     √
каждого из них ∃ lim k ak = 1.
                       k→∞
                              ∞          k 2
                         ak , ak = 1 − k1
                              P
      Пример 5. Ряд                            , сходится по
                     k=2
                     √            k
признаку Коши, т. к. k ak = 1 − k1    → e−1 < 1 при k →
→ ∞.
   Упражнение 3. Показать, что признак Коши сильнее
признака Даламбера в том смысле, что если сходимость
ряда можно установить с помощью признака Даламбера,
то это можно сделать и с помощью признака Коши.
   З а м е ч а н и е 1. Признаки Даламбера и Коши,
как видно из их доказательств, основаны на сравнении схо-
димости рассматриваемого ряда со сходимостью геометри-
                   ∞
                      q k . Этим, в частности, можно объяс-
                   P
ческой прогрессии
                        k=0
нить, что они непригодны для выяснения сходимости рядов
 ∞
P   1
   k α при α > 0.
k=1
  Существует много других более тонких признаков, да-
ющих достаточные условия сходимости числового ряда.


          § 15.3. Абсолютно сходящиеся ряды
                                     ∞
                                     P
      Определение 1.           Ряд         ak называется абсолютно
                                     k=1
                                           ∞
                                           P
сходящимся, если сходится ряд                    |ak |.
                                           k=1


      Теорема 1. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Страницы