Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 272 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

272 Глава 15. Числовые ряды
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу сходимости ряда
∞
P
k=1
|a
k
|
для него выполнено условие Коши. Поскольку
n
X
k=m
a
k
6
n
X
k=m
|a
k
| при m 6 n,
условие Коши выполняется также и для ряда
∞
P
k=1
a
k
. В силу
критерия Коши (теорема 15.1.2) ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится.
Заметим, что из сходимости ряда
∞
P
k=1
a
k
не следует схо-
димость ряда
∞
P
k=1
|a
k
|. Это видно из примера ряда
1 −1 +
1
2
−
1
2
+
1
3
−
1
3
+ . . . (1)
Следующие две теоремы показывают, что абсолютно
сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами сумм
конечного числа слагаемых.
Определение 2. Пусть задан ряд
∞
P
k=1
a
k
и отображение
k → n
k
, являющееся взаимно однозначным соответствием
N → N. Тогда ряд
∞
P
k=1
a
n
k
называют рядом с переставлен-
ными членами (по отношению к ряду
∞
P
k=1
a
k
).
Теорема 2. Если ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится абсолютно, то и
ряд
∞
P
k=1
a
∗
k
, полученный перестановкой членов ряда
∞
P
k=1
a
k
,
сходится абсолютно. При этом их суммы равны:
∞
X
k=1
a
∗
k
=
∞
X
k=1
a
k
. (2)
272                       Глава 15. Числовые ряды
                                                                      ∞
                                                                      P
      Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу сходимости ряда                  |ak |
                                                                     k=1
для него выполнено условие Коши. Поскольку
                  n
                  X             n
                                X
                         ak 6         |ak | при m 6 n,
                  k=m           k=m
                                                              ∞
                                                              P
условие Коши выполняется также и для ряда                         ak . В силу
                                                          k=1
                                               ∞
                                               P
критерия Коши (теорема 15.1.2) ряд                   ak сходится.
                                               k=1
                                                ∞
                                                P
      Заметим, что из сходимости ряда                ak не следует схо-
                                               k=1
                   ∞
                   P
димость ряда             |ak |. Это видно из примера ряда
                   k=1
                      1 1 1 1
                    1−1+
                       − + − + ...                (1)
                      2 2 3 3
   Следующие две теоремы показывают, что абсолютно
сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами сумм
конечного числа слагаемых.
                                  ∞
                                  P
   Определение 2. Пусть задан ряд   ak и отображение
                                                k=1
k → nk , являющееся взаимно однозначным соответствием
                  ∞
                  P
N → N. Тогда ряд     ank называют рядом с переставлен-
                          k=1
                                                ∞
                                                P
ными членами (по отношению к ряду                     ak ).
                                                k=1
                                    ∞
                                    P
      Теорема 2. Если ряд                ak сходится абсолютно, то и
                                   k=1
       ∞                                                              ∞
             a∗k , полученный перестановкой членов ряда
       P                                                              P
ряд                                                                         ak ,
       k=1                                                            k=1
сходится абсолютно. При этом их суммы равны:
                    X∞       ∞
                             X
                       a∗k =   ak .                                         (2)
                             k=1         k=1

Страницы