Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 274 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

274 Глава 15. Числовые ряды
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ряд (3) сходится абсолютно,
поскольку последовательность частичных сумм ряда из аб-
солютных величин его членов ограничена:
n
X
j=1
|a
k
j
||b
k
j
| 6
∞
X
k=1
|a
k
|
!
∞
X
k=1
|b
k
|
!
.
Установим равенство (4). Поскольку сумма ряда (3) не
зависит от перестановки его членов, будем считать, что
члены ряда (3) расположены в таком порядке, что
S
n
2
B
n
2
X
j=1
a
k
j
b
k
j
=
n
X
k=1
a
k
!
n
X
k=1
b
k
!
∀n ∈ N.
Переходя в этом равенстве к пределу при n → ∞, по-
лучаем, что подпоследовательность {S
n
2
}
∞
n=1
частичных
сумм ряда (3) сходится к
∞
P
k=1
a
k
∞
P
k=1
b
k
. Но ряд (3)
— сходящийся, поэтому последовательность его частичных
сумм сходится к тому же числу, и (4) установлено.
§ 15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды
Как было показано на примере ряда (15.3.1), сходя-
щийся ряд не обязательно абсолютно сходится.
Установим некоторые признаки сходимости таких ря-
дов.
Теорема 1 (признак Лейбница). Пусть a
k
> a
k+1
∀k ∈ N , a
k
→ 0 при k → ∞. Тогда знакочередующийся ряд
∞
X
k=1
(−1)
k+1
a
k
= a
1
− a
2
+ a
3
− a
4
+ . . . (1)
сходится.
При этом остаток ряда r
n
=
∞
P
k=n+1
(−1)
k
a
n
по абсолют-
ной величине не превосходит абсолютной величины первого
274                 Глава 15. Числовые ряды

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Ряд (3) сходится абсолютно,
поскольку последовательность частичных сумм ряда из аб-
солютных величин его членов ограничена:
                                ∞
             n
                                       ! ∞       !
            X                  X         X
                |akj ||bkj | 6    |ak |     |bk | .
             j=1            k=1         k=1

   Установим равенство (4). Поскольку сумма ряда (3) не
зависит от перестановки его членов, будем считать, что
члены ряда (3) расположены в таком порядке, что
            n2           n
                               ! n     !
           X             X       X
     Sn2 B     akj bkj =    ak      bk    ∀ n ∈ N.
              j=1         k=1        k=1
Переходя в этом равенстве к пределу при n → ∞, по-
                                        ∞
                          ∞  {S
лучаем, что подпоследовательность
                                   ∞
                                    n2 }n=1
                                         частичных
                           P      P
сумм ряда (3) сходится к     ak      bk . Но ряд (3)
                             k=1           k=1
— сходящийся, поэтому последовательность его частичных
сумм сходится к тому же числу, и (4) установлено.

      § 15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды
   Как было показано на примере ряда (15.3.1), сходя-
щийся ряд не обязательно абсолютно сходится.
   Установим некоторые признаки сходимости таких ря-
дов.
    Теорема 1 (признак Лейбница). Пусть ak > ak+1
∀ k ∈ N, ak → 0 при k → ∞. Тогда знакочередующийся ряд
           X∞
              (−1)k+1 ak = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . (1)
            k=1
сходится.
                                    ∞
                                           (−1)k an по абсолют-
                                    P
      При этом остаток ряда rn =
                                   k=n+1
ной величине не превосходит абсолютной величины первого

Страницы