Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 275 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды 275
из его членов:
|r
n
| 6 a
n+1
. (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим подпоследователь-
ность частичных с умм четного порядка {S
n
}
∞
1
частичных
сумм ряда (1):
S
2n
= (a
1
− a
2
) + (a
3
− a
4
) + . . . + (a
2n−1
− a
2n
) =
= a
1
− (a
2
− a
3
) − (a
4
− a
5
) − . . . − (a
2n−2
− a
2n−1
) − a
2n
.
Ясно, что S
2n
возрастает и что 0 6 S
2n
6 a
1
. Следова-
тельно, последовательнос ть {S
2n
}
∞
1
сходится:
∃ lim
n→∞
S
2n
C S ∈ [0, a
1
]. (3)
Подпоследовательность {S
2n−1
}
∞
1
последовательности
{S
n
}
∞
1
также сходится и притом к тому же пределу S, по-
скольку S
2n−1
= S
2n
− a
2n
→ S − 0 = S при n → ∞. Из
сходимости {S
2n
}
∞
1
и {S
2n−1
}
∞
1
к одному и тому же числу
S следует, как нетрудно заметить, сходимость S
n
→ S при
n → ∞, т. е. сходимость ряда (1) к S.
Пусть теперь r
n
— остаток ряда (1) после n-го члена:
(−1)
n+1
r
n
= a
n+1
− a
n+2
+ a
n+3
− a
n+4
+ . . .
Этот ряд также удовлетворяет условиям доказываемой те-
оремы. Оценивая его сумму в соответствии с (3), полу-
чаем (2).
Пример 1. Ряд
∞
P
k=1
(−1)
k+1
k
α
, α > 0, сходится по при-
знаку Лейбница.
Переходим к признакам сходимости рядов вида
∞
P
k=1
a
k
b
k
.
Рассмотрим преобразование конечной суммы
S
n
=
n
X
k=1
a
k
b
k
.
         § 15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды                   275
из его членов:
                          |rn | 6 an+1 .                           (2)
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим подпоследователь-
ность частичных сумм четного порядка {Sn }∞    1 частичных
сумм ряда (1):
S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + . . . + (a2n−1 − a2n ) =
  = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − . . . − (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n .
Ясно, что S2n возрастает и что 0 6 S2n 6 a1 . Следова-
тельно, последовательность {S2n }∞
                                 1 сходится:

                    ∃ lim S2n C S ∈ [0, a1 ].                      (3)
                      n→∞

   Подпоследовательность {S2n−1 }∞ 1 последовательности
{Sn }∞
     1 также  сходится и притом  к тому же пределу S, по-
скольку S2n−1 = S2n − a2n → S − 0 = S при n → ∞. Из
сходимости {S2n }∞           ∞
                 1 и {S2n−1 }1 к одному и тому же числу
S следует, как нетрудно заметить, сходимость Sn → S при
n → ∞, т. е. сходимость ряда (1) к S.
   Пусть теперь rn — остаток ряда (1) после n-го члена:
        (−1)n+1 rn = an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + . . .
Этот ряд также удовлетворяет условиям доказываемой те-
оремы. Оценивая его сумму в соответствии с (3), полу-
чаем (2).
                    ∞
                    P  (−1)k+1
   Пример 1. Ряд         k α , α > 0, сходится по при-
                        k=1
знаку Лейбница.
                                                           ∞
                                                           P
   Переходим к признакам сходимости рядов вида                   ak bk .
                                                           k=1
Рассмотрим преобразование конечной суммы
                                n
                                X
                         Sn =         ak bk .
                                k=1

Страницы