Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 277 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды 277
В самом деле, если |B
k
| 6 M ∀k ∈ N, то
∞
X
k=1
|(a
k+1
− a
k
)B
k
| 6 M
∞
X
k=1
|a
k+1
− a
k
| =
= ±M
∞
X
k=1
(a
k+1
− a
k
) = ∓Ma
1
.
Следовательно, и левая часть (5) стремится к конеч-
ному пределу при n → ∞, что и означает сходимость ряда
∞
P
k=1
a
k
b
k
.
Теорема 3 (признак Абеля). Пусть последователь-
ность чисел {a
k
} монотонна и ограничена, а ряд
∞
P
k=1
b
k
схо-
дится. Тогда сходится ряд
∞
P
k=1
a
k
b
k
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a
k
→ a
0
при k → ∞. То-
гда α
k
B a
k
− a
0
→ 0 при k → ∞,
∞
X
k=1
a
k
b
k
=
∞
X
k=1
α
k
b
k
+ a
0
∞
X
k=1
b
k
.
Первый из двух рядов справа сходится по признаку Ди-
рихле, а второй — по условию. Следовательно, сходится и
ряд, стоящий в левой части равенства.
З а м е ч а н и е 1. Признак Абеля можно сфор-
мулировать так: ряд, получаемый почленным умножением
сходящегося ряда на члены монотонной ограниченной по-
следовательности, сходится.
Пример 2. Доказать сходимость ряда
∞
X
k=1
sin kx
k
α
, α > 0, x ∈ R. (6)
           § 15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды                       277

      В самом деле, если |Bk | 6 M ∀ k ∈ N, то
∞
X                              ∞
                               X
      |(ak+1 − ak )Bk | 6 M          |ak+1 − ak | =
k=1                            k=1
                                                 ∞
                                                 X
                                       = ±M            (ak+1 − ak ) = ∓M a1 .
                                                 k=1

   Следовательно, и левая часть (5) стремится к конеч-
ному пределу при n → ∞, что и означает сходимость ряда
P∞
   ak bk .
k=1

   Теорема 3 (признак Абеля). Пусть последователь-
                                                ∞
                                                P
ность чисел {ak } монотонна и ограничена, а ряд   bk схо-
                                                                   k=1
                                     ∞
                                     P
дится. Тогда сходится ряд                  ak bk .
                                     k=1

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ak → a0 при k → ∞. То-
гда αk B ak − a0 → 0 при k → ∞,
                 ∞
                 X               ∞
                                 X                    ∞
                                                      X
                       ak bk =         αk bk + a0           bk .
                 k=1             k=1                  k=1

   Первый из двух рядов справа сходится по признаку Ди-
рихле, а второй — по условию. Следовательно, сходится и
ряд, стоящий в левой части равенства.
   З а м е ч а н и е 1. Признак Абеля можно сфор-
мулировать так: ряд, получаемый почленным умножением
сходящегося ряда на члены монотонной ограниченной по-
следовательности, сходится.
   Пример 2. Доказать сходимость ряда
                  ∞
                  X sin kx
                                 ,     α > 0,        x ∈ R.               (6)
                          kα
                  k=1

Страницы