Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 279 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды 279
сходится по признаку Абеля, в котором b
k
=
sin kx
k
α
.
Мы видели (теорема 15.3.2), что если ряд сходится аб-
солютно, то после любой перестановки его членов, он оста-
нется абсолютно сходящимся и сумма его не изменится.
Если же ряд сходится, но не абсолютно, то после переста-
новки членов он может превратиться в расходящийся ряд
или в сходящийся ряд, но имеющий другую сумму. Это
утверждение (теорема Римана) будет установлено после не-
которой подготовки.
Пусть задан ряд
∞
P
k=1
a
k
. Положим
a
+
k
B
(
a
k
, если a
k
> 0,
0, если a
k
< 0,
a
−
k
B
(
0, если a
k
> 0,
a
k
, если a
k
< 0.
Таким образом, a
+
k
> 0, a
−
k
6 0, a
k
= a
+
k
+ a
−
k
.
Лемма 1. Пусть ряд
P
a
k
сходится, но не абсолютно.
Тогда каждый из рядов
P
a
+
k
,
P
a
−
k
расходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Пусть,
например, ряд
P
a
+
k
сходится. Тогда сходится и ряд
P
a
−
k
(так как a
−
k
= a
k
− a
+
k
). Но тогда каждый из них схо-
дится абсолютно, откуда следует абсолютная сходимос ть
ряда
P
a
k
, что противоречит условию.
Теорема 4 (Римана). Пусть ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится, но
не абсолютно. Тогда для любого A ∈ R можно так пере-
ставить его члены, что полученный ряд будет сходиться к
A.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Построим по ряду
P
a
k
ряды
P
a
+
k
,
P
a
−
k
. Исключим из ряда
P
a
−
k
равные нулю члены
и полученный ряд обозначим через
P
(−β
i
). Исключим из
ряда
P
a
+
k
те равные нулю члены, для которых a
k
< 0,
и полученный ряд обозначим через
P
α
i
. Таким образом,
         § 15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды               279

сходится по признаку Абеля, в котором bk = sinkαkx .
   Мы видели (теорема 15.3.2), что если ряд сходится аб-
солютно, то после любой перестановки его членов, он оста-
нется абсолютно сходящимся и сумма его не изменится.
Если же ряд сходится, но не абсолютно, то после переста-
новки членов он может превратиться в расходящийся ряд
или в сходящийся ряд, но имеющий другую сумму. Это
утверждение (теорема Римана) будет установлено после не-
которой подготовки.
                    ∞
                    P
   Пусть задан ряд     ak . Положим
                     k=1
        (                            (
         ak ,   если ak > 0,          0,        если ak > 0,
   a+
    k B                         a−
                                 k B
         0,     если ak < 0,          ak ,      если ak < 0.
                        −                  −
Таким образом, a+                    +
                k > 0, ak 6 0, ak = ak + ak .
                         P
   Лемма 1. Пусть рядP ak P    сходится, но не абсолютно.
Тогда каждый из рядов      +
                          ak ,   a−
                                  k расходится.

   Д о к а з а тPе л ь с т в о. Допустим противное. Пусть,
                                                      P −
например, ряд       a+
                     k сходится. Тогда сходится и ряд  ak
            −             +
(так как ak = ak − ak ). Но тогда каждый из них схо-
дитсяPабсолютно, откуда следует абсолютная сходимость
ряда    ak , что противоречит условию.
                                          ∞
                                          P
   Теорема 4 (Римана). Пусть ряд                ak сходится, но
                                          k=1
не абсолютно. Тогда для любого A ∈ R можно так пере-
ставить его члены, что полученный ряд будет сходиться к
A.
                                                    P
P Д    оP
        к а з а т е л ь с т в о. Построим по ряду     ak ряды
            −                           −
   a+
                                     P
    k ,   a k . Исключим     из ряда   ak
                                        P равные   нулю члены
и полученный
       P +       ряд обозначим через (−βi ). Исключим из
ряда     ak те равные нулю члены, P      для которых ak < 0,
и полученный ряд обозначим через           αi . Таким образом,

Страницы