Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 280 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

280 Глава 15. Числовые ряды
все числа α
i
> 0, все числа β
i
> 0. Ряды
P
α
i
,
P
(−β
i
)
расходятся.
Теперь каждый член ряда
P
a
k
является членом одного
из рядов
P
α
i
,
P
(−β
i
), а каждый член любого из этих ря-
дов является членом ряда
P
a
k
. Поэтому любой ряд, со-
ставленный из всех членов рядов
P
α
i
,
P
(−β
i
), является
некоторой перестановкой ряда
P
a
k
.
Зафиксируем A ∈ R и построим ряд
α
1
+ . . . + α
m
1
− β
1
− . . . − β
n
1
+ α
m
1
+1
+ . . .
+α
m
2
− β
n
1
+1
− . . . − β
n
2
+ . . . , (8)
где m
i
, n
i
∈ N, 1 6 m
1
< m
2
< . . ., 1 6 n
1
< n
2
< . . .
Ряд (8) строим по следующему правилу. На первом шаге
переносим в него один за другим несколько первых чле-
нов ряда
P
α
i
, следя за возрастанием частичных сумм S
n
ряда (8) и заканчивая тем членом α
m
1
, при переносе кото-
рого в (8) частичная сумма S
m
1
впервые станет большей,
чем A (S
m
1
> A). Это осуществимо, поскольку ряд
P
α
i
расходится, так что его частичные суммы не ограничены.
На втором шаге переносим в ряд (8) несколько первых
членов ряда
P
(−β
i
), следя за убыванием частичных сумм
S
n
ряда (8) и заканчивая тем членом −β
n
1
, при переносе
которого частичная сумма S
m
1
+n
1
впервые станет меньшей,
чем A (S
m
1
+n
1
< A).
На третьем шаге переносим в ряд (8) несколько первых
из оставшихся в ряде
P
α
i
членов, следя за возрастанием
частичной суммы ряда (8) и заканчивая тем членом −α
m
2
,
при переносе которого частичная сумма S
m
1
+n
1
+m
2
впервые
станет большей, чем A (S
m
1
+n
1
+m
2
> A).
На четвертом шаге переносим в ряд (8) несколько
первых из оставшихся членов ряда
P
(−β
i
), заканчи-
вая тем членом −β
n
1
, при переносе которого частич-
ная сумма S
m
1
+n
1
+m
2
+n
2
впервые станет меньшей, чем A
(S
m
1
+n
1
+m
2
+n
2
< A).
280                  Глава 15. Числовые ряды
                                                P      P
все числа αi > 0, все числа βi > 0. Ряды          αi ,   (−βi )
расходятся.
                              P
   ТеперьPкаждыйP член ряда       ak является членом одного
из рядов    αi , (−βi ), а каждый
                            P       член любого из этих ря-
дов является членом ряда      ak . Поэтому
                                    P        P любой ряд, со-
ставленный из всех членов рядовP        αi ,  (−βi ), является
некоторой перестановкой ряда       ak .
   Зафиксируем A ∈ R и построим ряд
α1 + . . . + αm1 − β1 − . . . − βn1 + αm1 +1 + . . .
                        +αm2 − βn1 +1 − . . . − βn2 + . . . ,   (8)
где mi , ni ∈ N, 1 6 m1 < m2 < . . ., 1 6 n1 < n2 < . . .
Ряд (8) строим по следующему правилу. На первом шаге
переносимPв него один за другим несколько первых чле-
нов ряда      αi , следя за возрастанием частичных сумм Sn
ряда (8) и заканчивая тем членом αm1 , при переносе кото-
рого в (8) частичная сумма Sm1 впервые станет большей,    P
чем A (Sm1 > A). Это осуществимо, поскольку ряд             αi
расходится, так что его частичные суммы не ограничены.
   На второмPшаге переносим в ряд (8) несколько первых
членов ряда (−βi ), следя за убыванием частичных сумм
Sn ряда (8) и заканчивая тем членом −β n1 , при переносе
которого частичная сумма Sm1 +n1 впервые станет меньшей,
чем A (Sm1 +n1 < A).
   На третьем шаге переносим
                          P        в ряд (8) несколько первых
из оставшихся в ряде         αi членов, следя за возрастанием
частичной суммы ряда (8) и заканчивая тем членом −αm2 ,
при переносе которого частичная сумма Sm1 +n1 +m2 впервые
станет большей, чем A (Sm1 +n1 +m2 > A).
   На четвертом шаге переносим в ряд        P (8) несколько
первых из оставшихся членов ряда              (−βi ), заканчи-
вая тем членом −β n1 , при переносе которого частич-
ная сумма Sm1 +n1 +m2 +n2 впервые станет меньшей, чем A
(Sm1 +n1 +m2 +n2 < A).

Страницы