Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 281 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15.5. Последовательности и ряды с комплексными членами 281
Продолжая так и далее, построим ряд (8), отличаю-
щийся от
P
a
k
лишь перестановкой членов.
По построению, уклонение частичной суммы ряда (8)
от A, т. е. |A − S
n
|, оценивается для номеров n второго
шага построения через max{α
m
1
, β
n
1
}, номеров n третьего
шага — через max{β
n
1
, α
m
2
}, четвертого шага — через
max{α
m
2
, β
n
2
} и т.д.
Поскольку α
i
→ 0, β
i
→ 0 при i → ∞, отсюда следует,
что S
n
→ A при n → ∞. Теорема доказана.
Упражнение 1. Доказать, что в условиях теоремы
Римана можно построить ряд (8), для которого частичные
суммы:
a) S
n
→ +∞ при n → +∞;
b) S
n
→ −∞ при n → −∞;
c) образуют ограниченную расходящуюся последователь-
ность {S
n
}.
§ 15.5. Последовательности и ряды
с комплексными членами
Определение 1. Последовательность комплексных чи-
сел {z
k
} = {x
k
+ iy
k
} называется сходящейся, если суще-
ствует комплексное число z
0
= x
0
+ y
0
такое, что
lim
k→∞
|z
k
− z
0
| = 0.
Число z
0
= x
0
+ iy
0
называют при э том пределом последо-
вательности {z
k
} и пишут lim
n→∞
z
k
= z
0
или z
k
→ z
0
при
n → ∞.
Поскольку
|z
k
− z
0
| =
p
(x
k
− x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
,
сходимость z
k
→ z
0
равносильна сходимости каждой из
двух последовательностей действительных чисел x
k
→ x
0
и y
k
→ y
0
при k → ∞. Это свойство (или повторение вы-
водов) дает возможность перенести на последовательности
§ 15.5. Последовательности и ряды с комплексными членами 281

          P так и далее, построим ряд (8), отличаю-
   Продолжая
щийся от     ak лишь перестановкой членов.
   По построению, уклонение частичной суммы ряда (8)
от A, т. е. |A − Sn |, оценивается для номеров n второго
шага построения через max{αm1 , βn1 }, номеров n третьего
шага — через max{βn1 , αm2 }, четвертого шага — через
max{αm2 , βn2 } и т.д.
   Поскольку αi → 0, βi → 0 при i → ∞, отсюда следует,
что Sn → A при n → ∞. Теорема доказана.
   Упражнение 1. Доказать, что в условиях теоремы
Римана можно построить ряд (8), для которого частичные
суммы:
a) Sn → +∞ при n → +∞;
b) Sn → −∞ при n → −∞;
c) образуют ограниченную расходящуюся последователь-
   ность {Sn }.

       § 15.5. Последовательности и ряды
             с комплексными членами
   Определение 1. Последовательность комплексных чи-
сел {zk } = {xk + iyk } называется сходящейся, если суще-
ствует комплексное число z0 = x0 + y0 такое, что
                     lim |zk − z0 | = 0.
                    k→∞
Число z0 = x0 + iy0 называют при этом пределом последо-
вательности {zk } и пишут lim zk = z0 или zk → z0 при
                            n→∞
n → ∞.
   Поскольку
                       p
           |zk − z0 | = (xk − x0 )2 + (y − y0 )2 ,
сходимость zk → z0 равносильна сходимости каждой из
двух последовательностей действительных чисел xk → x0
и yk → y0 при k → ∞. Это свойство (или повторение вы-
водов) дает возможность перенести на последовательности

Страницы