Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 283 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 16
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 16.1. Равномерная сходимость
функциональных последовательностей и рядов
В этой главе будем изучать последовательности и ряды
комплекснозначных функций, определенных на множестве
точек евклидова d-мерного пространства точек R
d
, d ∈ N.
Рассмотрим последовательность функций
{f
n
}
∞
1
, f
n
: E → C, E ⊂ R
d
. (1)
Определение 1. Говорят, что последовательность (1)
сходится на множестве E, если числовая последователь-
ность {f
n
(x)}
∞
1
сходится при каждом фиксированном x ∈
∈ E.
При этом говорят также, что последовательность (1)
сходится на E поточечно.
Определение 2. Говорят, что последовательность (1)
сходится на E равномерно к функции f : E → C, если
sup |f
n
(x) − f(x)| → 0 при n → ∞, x ∈ E.
При этом пишут
f
n
⇒
E
f.
Говорят, что последовательность (1) сходится на мно-
жестве E равномерно, если
∃f : E → C : f
n
⇒
E
f при n → ∞.
Если последовательность (1) сходится на множестве E
равномерно, то, очевидно, она сходится на E и поточечно,
и притом к той же самой функции. Обратное неверно.
          Глава 16
      ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

      § 16.1. Равномерная сходимость
функциональных последовательностей и рядов
   В этой главе будем изучать последовательности и ряды
комплекснозначных функций, определенных на множестве
точек евклидова d-мерного пространства точек Rd , d ∈ N.
   Рассмотрим последовательность функций
            {fn }∞
                 1 ,   fn : E → C,   E ⊂ Rd .            (1)

   Определение 1. Говорят, что последовательность (1)
сходится на множестве E, если числовая последователь-
ность {fn (x)}∞
              1 сходится при каждом фиксированном x ∈
∈ E.
   При этом говорят также, что последовательность (1)
сходится на E поточечно.
   Определение 2. Говорят, что последовательность (1)
сходится на E равномерно к функции f : E → C, если
      sup |fn (x) − f (x)| → 0 при n → ∞,       x ∈ E.
   При этом пишут
                         fn ⇒ f.
                            E

  Говорят, что последовательность (1) сходится на мно-
жестве E равномерно, если
          ∃ f : E → C : fn ⇒ f     при n → ∞.
                            E
   Если последовательность (1) сходится на множестве E
равномерно, то, очевидно, она сходится на E и поточечно,
и притом к той же самой функции. Обратное неверно.

Страницы