Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 285 стр.

 § 16.1. Равномерная сходимость функ. послед-стей и рядов 285

   З а м е ч а н и е 1. Понятие «равномерная схо-
димость» может быть пояснено как «в равной степени бы-
страя сходимость» для разных точек множества E. В слу-
чае равномерной сходимости существует миноранта «ско-
ростей сходимости» во всех точках E — это εn B sup |fn −
                                                           E
− f | → 0 (n → ∞).
    Заметим еще, что равномерная сходимость fn ⇒ f рав-
                                                          E
носильна, очевидно, равномерной сходимости fn − f ⇒ 0.
     Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходи-
мости последовательности). Последовательность {fn },
fn : E → C, сходится на E равномерно тогда и только то-
гда, когда выполняется условие Коши:
       ∀ ε > 0 ∃ n(ε) : sup |fn − fm | < ε ∀ n, m > nε .
                            E

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть fn ⇒ f .
                                                               E
Тогда
                                            ε
       ∀ε > 0    ∃ n(ε) : sup |fn − f | <       при n > nε .
                           E                2
Отсюда следует, что n, m > nε ,
                                                     ε ε
  sup |fn − fm | 6 sup |fn − f | + sup |fm − f | <    + = ε.
   E                  E               E              2 2
Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. Тогда
при каждом фиксированном x ∈ E выполнено условие
 ∀ ε > 0 ∃ n(ε) : |fn (x)−fm (x)| < ε ∀ n, m > nε , ∀ x ∈ E. (2)
В силу критерия Коши сходимости числовой последова-
тельности {fn (x)} сходится для ∀ x ∈ E. Обозначим предел
числовой последовательности{fn (x)} через f (x). Покажем,
что fn ⇒ f . Перейдем для этого в оценке (2) к пределу при
        E
m → ∞. Получим, что
∀ε > 0      ∃ n(ε) : |fn (x) − f (x)| 6 ε   ∀ n > n(ε),   ∀ x ∈ E.