Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 287 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§16.1. Равномерная сходимость функ. послед-стей и рядов 287
Ряд сходится для ∀x ∈ E по признаку Лейбница. По
тому же признаку остаток ряда не превосходит
∞
X
n+1
(−1)
k+1
k + x
2
6
1
n + 1 + x
2
6
1
n + 1
→ 0 (n → ∞).
Следовательно, по определению 4
0
ряд равномерно сходится
на (−∞, +∞).
Обратим внимание читателя на то, что этот ряд не схо-
дится абсолютно ни при каком значении x ∈ (−∞, +∞).
Теорема 2 (необходимое условие равномерной
сходимости ряда). Пусть ряд (3) равномерно сходится
на E. Тогда
u
n
⇒
E
0.
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из того, что u
n
= S
n
−
− S
n−1
, S
n
⇒
E
S, S
n−1
⇒
E
S.
Понятия сходимости ряда, сходимости ряда на множе-
стве, равномерной сходимости ряда на множестве опреде-
ляются в терминах соответствующих понятий для последо-
вательностей частичных сумм ряда. Поэтому многие свой-
ства функциональных рядов являются перефразировкой со-
ответствующих свойств функциональных последовательно-
стей и наоборот. Так, например, простым следствием тео-
ремы 1 является
Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходи-
мости ряда). Ряд (3) сходится на E равномерно тогда и
только тогда, когда выполняется условие Коши:
∀ε > 0 ∃n(ε) : sup
E
n+p
X
k=n+1
u
k
< ε ∀n > n(ε), ∀p ∈ N.
 § 16.1. Равномерная сходимость функ. послед-стей и рядов 287

   Ряд сходится для ∀ x ∈ E по признаку Лейбница. По
тому же признаку остаток ряда не превосходит
     ∞
     X (−1)k+1             1         1
                   6              6     →0        (n → ∞).
          k + x2       n + 1 + x2   n+1
    n+1

Следовательно, по определению 40 ряд равномерно сходится
на (−∞, +∞).
   Обратим внимание читателя на то, что этот ряд не схо-
дится абсолютно ни при каком значении x ∈ (−∞, +∞).

   Теорема 2 (необходимое условие равномерной
сходимости ряда). Пусть ряд (3) равномерно сходится
на E. Тогда
                     un ⇒ 0.
                                   E

   Д о к а з а т е л ь с т в о следует из того, что un = Sn −
− Sn−1 , Sn ⇒ S, Sn−1 ⇒ S.
           E             E
   Понятия сходимости ряда, сходимости ряда на множе-
стве, равномерной сходимости ряда на множестве опреде-
ляются в терминах соответствующих понятий для последо-
вательностей частичных сумм ряда. Поэтому многие свой-
ства функциональных рядов являются перефразировкой со-
ответствующих свойств функциональных последовательно-
стей и наоборот. Так, например, простым следствием тео-
ремы 1 является

   Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходи-
мости ряда). Ряд (3) сходится на E равномерно тогда и
только тогда, когда выполняется условие Коши:
                             n+p
                             X
∀ε > 0    ∃ n(ε) : sup             uk < ε ∀ n > n(ε),   ∀ p ∈ N.
                   E     k=n+1

Страницы