Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 289 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§16.2. Признаки равномерной сходимости рядов 289
Значит, для этих же ε > 0 и n(ε)
sup
x∈E
n+p
X
k=n+1
u
k
(x)
6 sup
x∈E
n+p
X
k=n+1
|u
k
(x)| < ε ∀n > n(ε), ∀p ∈ N.
Следовательно, в силу того же критерия Коши ряды
P
u
k
и
P
|u
k
| равномерно сходятся на E.
Частным случаем доказанной теоремы является
Теорема 2 (признак Вейерштрасса). Пусть u
k
:
E → C, E ⊂ R
d
, причем
|u
k
(x)| 6 a
k
∀x ∈ E, ∀k ∈ N.
Пусть ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится. Тогда ряд
∞
P
k=1
u
k
сходится на E
абсолютно и равномерно.
Определение 1. Последовательность функций {f
n
},
f
n
: E → C, E ⊂ R
d
, называется равномерно ограниченной
на E, если
∃M : |f
n
(x)| 6 M ∀x ∈ E, ∀n ∈ N.
Следующие два признака относятся к ряду вида
∞
X
k=1
a
k
(x)u
k
(x), (1)
где a
k
: E → R, u
k
: E → C, E ⊂ R
d
.
Теорема 3 (признак Дирихле). Пусть последо-
вательность действительнозначных функций a
k
(x) при ка-
ждом x ∈ E монотонна и a
k
⇒ 0. Пусть частичные суммы
ряда
P
u
k
(x) комплекснозначных функций u
k
равномерно
ограничены на E.
Тогда ряд (1) равномерно сходится на E.
      § 16.2. Признаки равномерной сходимости рядов               289

Значит, для этих же ε > 0 и n(ε)
      n+p
      X                    n+p
                           X
sup         uk (x) 6 sup          |uk (x)| < ε ∀ n > n(ε), ∀ p ∈ N.
x∈E k=n+1             x∈E k=n+1
                                                                P
Следовательно,
  P             в силу того же критерия Коши ряды                   uk
и   |uk | равномерно сходятся на E.
   Частным случаем доказанной теоремы является

  Теорема 2 (признак Вейерштрасса).                        Пусть uk :
E → C, E ⊂ Rd , причем
               |uk (x)| 6 ak    ∀ x ∈ E,       ∀ k ∈ N.
             ∞
             P                                  ∞
                                                P
Пусть ряд         ak сходится. Тогда ряд             uk сходится на E
            k=1                                k=1
абсолютно и равномерно.

     Определение 1. Последовательность функций {fn },
fn : E → C, E ⊂ Rd , называется равномерно ограниченной
на E, если
            ∃ M : |fn (x)| 6 M      ∀ x ∈ E,        ∀ n ∈ N.


   Следующие два признака относятся к ряду вида
                         ∞
                         X
                               ak (x)uk (x),                      (1)
                         k=1

где ak : E → R, uk : E → C, E ⊂ Rd .

   Теорема 3 (признак Дирихле).          Пусть последо-
вательность действительнозначных функций ak (x) при ка-
ждом Px ∈ E монотонна и ak ⇒ 0. Пусть частичные суммы
ряда    uk (x) комплекснозначных функций uk равномерно
ограничены на E.
   Тогда ряд (1) равномерно сходится на E.

Страницы