Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 290 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

290 Глава 16. Функциональные последовательности и ряды
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя преобразование
Абеля (15.4.5), получаем
n+p
X
k=n+1
a
k
(x)u
k
(x) =
= a
n+p
(x)
n+p
X
k=1
u
k
(x) −
n+p−1
X
k=n+1
(a
k+1
(x) − a
k
(x))
k
X
j=1
u
j
(x). (2)
В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда
P
u
k
(x) при некотором M
n
X
k=1
u
k
(x)
6 M ∀n ∈ N, ∀x ∈ E.
Тогда, используя монотонность a
k
(x) (по k), имеем
n+p
X
k=n+1
a
k
(x)u
k
(x)
6 M|a
n+p
(x)| + M
n+p−1
X
k=n+1
|a
k+1
(x) − a
k
(x)| =
= M|a
n+p
(x)| + M
n+p−1
X
k=n+1
(a
k+1
(x) − a
k
(x)) =
= 2M|a
n+p
(x)| + M|a
n+1
(x)|.
Из этого неравенства в силу a
k
⇒
E
0 получаем, что
∀ε > 0 ∃n(ε) :
n+p
X
k=n+1
a
k
(x)u
k
(x)
< ε
∀n > n(ε), ∀p ∈ N, ∀x ∈ E.
Применяя критерий Коши (теорема 16.1.3), получаем, что
ряд (1) сходится на E равномерно.
Теорема 4 (признак Абеля). Пусть последователь-
ность действительнозначных функций a
k
(x) равномерно
ограничена на множестве E ⊂ R
d
и при каждом x ∈ E
последовательность a
k
(x) монотонна. Пусть ряд
P
u
k
(x)
равномерно сходится на E.
290     Глава 16. Функциональные последовательности и ряды

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя преобразование
Абеля (15.4.5), получаем
 n+p
 X
    ak (x)uk (x) =
k=n+1      n+p
           X            n+p−1
                         X                        k
                                                  X
= an+p (x)     uk (x) −       (ak+1 (x) − ak (x))   uj (x). (2)
             k=1           k=n+1                        j=1

В
Pсилу равномерной ограниченности частичных сумм ряда
  uk (x) при некотором M
               n
               X
                     uk (x) 6 M     ∀ n ∈ N,       ∀ x ∈ E.
               k=1
Тогда, используя монотонность ak (x) (по k), имеем
 n+p
 X                                            n+p−1
                                               X
        ak (x)uk (x) 6 M |an+p (x)| + M            |ak+1 (x) − ak (x)| =
k=n+1                                         k=n+1
                                 n+p−1
                                  X
          = M |an+p (x)| + M             (ak+1 (x) − ak (x)) =
                                 k=n+1
                                     = 2M |an+p (x)| + M |an+1 (x)|.
Из этого неравенства в силу ak ⇒ 0 получаем, что
                                         E
                                    n+p
                                    X
            ∀ ε > 0 ∃ n(ε) :                 ak (x)uk (x) < ε
                                   k=n+1
                   ∀ n > n(ε),    ∀ p ∈ N,      ∀ x ∈ E.
Применяя критерий Коши (теорема 16.1.3), получаем, что
ряд (1) сходится на E равномерно.
   Теорема 4 (признак Абеля). Пусть последователь-
ность действительнозначных функций ak (x) равномерно
ограничена на множестве E ⊂ Rd и при каждомP   x ∈ E
последовательность ak (x) монотонна. Пусть ряд  uk (x)
равномерно сходится на E.

Страницы