Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 292 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

292 Глава 16. Функциональные последовательности и ряды
3.
◦
при 0 < α 6 1 на любом отрезке [0, δ], δ > 0 сходится,
но не равномерно.
Покажем это. 1
◦
При α > 1
sin kx
k
α
6
1
k
α
ряд
∞
P
k=1
1
k
α
схо-
дится. По признаку Вейерштрасса ряд
∞
P
k=1
sin kx
k
α
равно-
мерно сходится на (−∞, +∞). 2
◦
При 0 < α 6 1 воспользу-
емся оценкой из примера 15.4.2:
n
X
k=1
sin kx
6
1
sin
x
2
,
показывающей, что частичные суммы ряда
n
P
k=1
sin kx рав-
номерно ограничены на каждом отрезке [a, b] ⊂ (0, 2π). Чи-
сла же a
k
=
1
k
α
монотонно стремятся к нулю. По признаку
Дирихле ряд
∞
P
k=1
sin kx
k
α
на каждом отрезке [a, b] ⊂ (0, 2π)
сходится равномерно. 3
◦
При 0 < α 6 1 и любом n ∈ N
2n
X
k=n+1
sin kx
k
α
x=
1
n
>
2n
X
k=n+1
sin 1
k
α
> sin 1
2n
X
k=n+1
1
2n
=
sin 1
2
> 0.
Следовательно, на отрезке [0, δ], δ > 0 не выполняется усло-
вие Коши равномерной сходимости ряда
∞
P
k=1
sin kx
k
α
. По кри-
терию Коши (теорема 16.1.3) этот ряд не сходится равно-
мерно.
§ 16.3. Свойства равномерно сходящихся
последовательностей и рядов
Определение 1. Комплекснозначная функция f : E →
→ C, определенная на множестве E ⊂ R
d
, называется не-
292   Глава 16. Функциональные последовательности и ряды

   3.◦ при 0 < α 6 1 на любом отрезке [0, δ], δ > 0 сходится,
       но не равномерно.
                                                   ∞
Покажем это. 1◦ При α > 1 sinkαkx 6 k1α ряд            1
                                                  P
                                                      k α схо-
                                                             k=1
                                    ∞
дится. По признаку Вейерштрасса ряд
                                    P sin kx равно-
                                        kα
                                                    k=1
мерно сходится на (−∞, +∞). 2◦ При 0 < α 6 1 воспользу-
емся оценкой из примера 15.4.2:
                     n
                     X                  1
                           sin kx 6            ,
                     k=1              sin x2

                                                         n
                                                         P
показывающей, что частичные суммы ряда                         sin kx рав-
                                                         k=1
номерно ограничены на каждом отрезке [a, b] ⊂ (0, 2π). Чи-
сла же ak = k1α монотонно стремятся к нулю. По признаку
               ∞
Дирихле ряд
               P  sin kx на каждом отрезке [a, b] ⊂ (0, 2π)
                    kα
               k=1
сходится равномерно. 3◦ При 0 < α 6 1 и любом n ∈ N
  2n                      2n               2n
  X  sin kx               X  sin 1         X   1   sin 1
                     >             > sin 1       =       > 0.
       kα        1
              x= n            k α             2n     2
 k=n+1                   k=n+1              k=n+1

Следовательно, на отрезке [0, δ], δ > 0 не выполняется усло-
                                            ∞
вие Коши равномерной сходимости ряда
                                            P sin kx . По кри-
                                                kα
                                                   k=1
терию Коши (теорема 16.1.3) этот ряд не сходится равно-
мерно.


      § 16.3. Свойства равномерно сходящихся
             последовательностей и рядов
  Определение 1. Комплекснозначная функция f : E →
→ C, определенная на множестве E ⊂ Rd , называется не-

Страницы