Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 291 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§16.2. Признаки равномерной сходимости рядов 291
Тогда ряд (1) равномерно сходится на E.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся равенством (2):
n+p
X
k=n+1
a
k
(x)u
k
(x) =
= a
n+p
(x)
n+p
X
k=n+1
u
k
(x) −
n+p−1
X
k=n+1
(a
k+1
(x) − a
k
(x))
k
X
j=n+1
u
j
(x).
По определению равномерной ограниченности функций
a
k
(x) при некотором M
|a
k
(x)| 6 M ∀n ∈ N, ∀x ∈ E.
Из равномерной сходимости ряда
P
u
k
и критерия
Коши (теорема 16.1.3) имеем
∀ε > 0 ∃n(ε) :
n+p
X
k=n+1
u
k
(x)
< ε ∀n > n(ε), ∀p ∈ N, ∀x ∈ E.
Отсюда и из (2), используя монотонность a
k
(x), получаем,
что для любого ε > 0 ∃n(ε) такое, что
n+p
X
k=n+1
a
k
(x)u
k
(x)
6 M ε + ε
n+p−1
X
k=n+1
|a
k+1
(x) − a
k
(x)| =
= M ε + ε
n+p−1
X
k=n+1
(a
k+1
(x) − a
k
(x))
=
= M ε + ε|a
n+p
(x) − a
n+1
(x)| 6 Mε + 2Mε = 3Mε.
В силу критерия Коши (теорема 16.1.3) отсюда следует
равномерная сходимость ряда (1) на множестве E.
Пример 1. Ряд
∞
P
k=1
sin kx
k
α
1.
◦
при α > 1 равномерно сходится на отрезке [0, 2π];
2.
◦
при 0 < α 6 1 на любом отрезке [a, b] ⊂ (0, 2π) схо-
дится равномерно;
        § 16.2. Признаки равномерной сходимости рядов                      291

   Тогда ряд (1) равномерно сходится на E.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся равенством (2):
 n+p
 X
        ak (x)uk (x) =
k=n+1          n+p                n+p−1                          k
               X                   X                             X
 = an+p (x)           uk (x) −            (ak+1 (x) − ak (x))           uj (x).
              k=n+1               k=n+1                         j=n+1

По определению равномерной ограниченности функций
ak (x) при некотором M
                |ak (x)| 6 M        ∀ n ∈ N,
                               ∀ x ∈ E.
                                  P
  Из равномерной сходимости ряда     uk и критерия
Коши (теорема 16.1.3) имеем
                      n+p
                      X
∀ ε > 0 ∃ n(ε) :             uk (x) < ε ∀ n > n(ε), ∀ p ∈ N, ∀ x ∈ E.
                     k=n+1

Отсюда и из (2), используя монотонность ak (x), получаем,
что для любого ε > 0 ∃ n(ε) такое, что
  n+p
  X                                  n+p−1
                                      X
        ak (x)uk (x) 6 M ε + ε               |ak+1 (x) − ak (x)| =
k=n+1                                k=n+1
                             n+p−1
                              X
              = Mε + ε               (ak+1 (x) − ak (x)) =
                             k=n+1
            = M ε + ε|an+p (x) − an+1 (x)| 6 M ε + 2M ε = 3M ε.
В силу критерия Коши (теорема 16.1.3) отсюда следует
равномерная сходимость ряда (1) на множестве E.
                   ∞
   Пример 1. Ряд
                   P  sin kx
                        kα
                            k=1
    1.◦ при α > 1 равномерно сходится на отрезке [0, 2π];
    2.◦ при 0 < α 6 1 на любом отрезке [a, b] ⊂ (0, 2π) схо-
        дится равномерно;

Страницы