Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 293 стр.

    § 16.3. Свойства равномерно сходящихся послед-стей                293

прерывной в точке x(0) ∈ E по множеству E, если
          ∀ ε > 0 ∃ δ = δε > 0 : |f (x) − f (x(0) )| < ε
                                                                      (1)
                         ∀ x ∈ E ∩ Uδ (x(0) ),
и называется непрерывной на E, если она непрерывна в
каждой точке множества E по множеству E.
   Комплекснозначную функцию f можно представить в
виде f = g + ih, где g, h — действительнозначные функции.
Очевидно, что непрерывность функции f в точке x(0) ∈ E
по множеству E (на E) равносильна непрерывности каждой
из функций g, h в точке x(0) по множеству E (на E).
   Теорема 1. Пусть последовательность комплексно-
значных функций {fn }, fn : E → C, E ⊂ Rd равномерно
сходится на E к функции f , т. е. fn ⇒ f . Если все функ-
                                               E
ции fn непрерывны в точке x(0) ∈ E по множеству E, то и
предельная функция f непрерывна в точке x(0) по множе-
ству E.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε > 0. Тогда
             ∃ n(ε) : |f (x) − fn(ε) (x)| < ε ∀ x ∈ E.                (2)
Тогда при x ∈ E
|f (x) − f (x(0) )| 6 |f (x) − fn(ε) (x)| + |fn(ε) (x) − fn(ε) (x(0) )|+
          +|f (x(0) ) − fn(ε) (x(0) )| < 2ε + |fn(ε) (x) − fn(ε) (x(0) )|.
В силу непрерывности функции fn(ε) в точке x(0) по множе-
ству E
∃ δ = δε > 0 : |fn(ε) (x) − fn(ε) (x(0) )| < ε ∀ x ∈ E ∩ Uδ (x(0) ).
Отсюда и из предыдущего неравенства следует, что
           |f (x) − f (x(0) )| < 3ε    ∀ x ∈ E ∩ Uδ (x(0) ).
Следовательно, функция f непрерывна в точке x(0) по мно-
жеству E.