Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 295 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§16.3. Свойства равномерно сходящихся послед-стей 295
Упражнение 1. Доказать следующее обобще ние тео-
ремы 2:
Пусть функции f
n
интегрируемы на отрезке [a, b] при
всех n ∈ N и f
n
⇒
[a,b]
f. Тогда функция f интегрируема на
[a, b] и выполняются соотношения (3), (4).
Теорема 2
0
. (о почленном инте грировании ряда).
Пусть функции u
k
непрерывны на отрезке [a, b] ∀k ∈ N и
ряд
∞
P
k=1
u
k
равномерно сходится на [a, b]. Тогда и ряд
∞
X
k=1
Z
x
a
u
k
(t) dt
равномерно сходится на [a, b] и
Z
x
a
∞
X
k=1
u
k
(t) dt =
∞
X
k=1
Z
x
a
u
k
(t) dt ∀x ∈ [a, b].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим f
n
(x) =
n
P
k=1
u
k
(x),
f(x) =
∞
P
k=1
u
k
(x) и применим теорему 2 и следствие 1 из
нее.
Теорема 3. Пусть последовательность {f
n
} непре-
рывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций схо-
дится в точке c ∈ [a, b], а последовательность производных
{f
0
n
} равномерно сходится на [a, b] к некоторой функции ϕ.
Тогда последовательность {f
n
} равномерно сходится на
[a, b] к некоторой непрерывно дифференцируемой на [a, b]
функции f и f
0
= ϕ, так что ( lim
n→∞
f
n
)
0
= lim
n→∞
f
0
n
на [a, b].
Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 1 функция ϕ непре-
рывна на [a, b]. В силу теоремы 2 и формулы Ньютона–
Лейбница получаем, что
f
n
(x) − f
n
(c) =
Z
x
c
f
0
n
(t) dt ⇒
[a,b]
Z
x
a
ϕ(t) dt.
       § 16.3. Свойства равномерно сходящихся послед-стей                 295

   Упражнение 1. Доказать следующее обобщение тео-
ремы 2:
   Пусть функции fn интегрируемы на отрезке [a, b] при
всех n ∈ N и fn ⇒ f . Тогда функция f интегрируема на
                     [a,b]
[a, b] и выполняются соотношения (3), (4).
   Теорема 20 . (о почленном интегрировании ряда).
Пусть функции uk непрерывны на отрезке [a, b] ∀ k ∈ N и
    P∞
ряд     uk равномерно сходится на [a, b]. Тогда и ряд
    k=1               ∞ Z x
                     X
                            uk (t) dt
                             k=1       a

равномерно сходится на [a, b] и
       Z xX∞             ∞ Z x
                         X
             uk (t) dt =        uk (t) dt ∀ x ∈ [a, b].
            a k=1              k=1         a
                                                                 n
                                                                 P
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим fn (x) =                       uk (x),
                                                                 k=1
           ∞
           P
f (x) =          uk (x) и применим теорему 2 и следствие 1 из
           k=1
нее.
     Теорема 3. Пусть последовательность {fn } непре-
рывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций схо-
дится в точке c ∈ [a, b], а последовательность производных
{fn0 } равномерно сходится на [a, b] к некоторой функции ϕ.
     Тогда последовательность {fn } равномерно сходится на
[a, b] к некоторой непрерывно дифференцируемой на [a, b]
функции f и f 0 = ϕ, так что ( lim fn )0 = lim fn0 на [a, b].
                                           n→∞             n→∞
   Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 1 функция ϕ непре-
рывна на [a, b]. В силу теоремы 2 и формулы Ньютона–
Лейбница получаем, что
                            Z x             Z x
                                 0
         fn (x) − fn (c) =      fn (t) dt ⇒     ϕ(t) dt.
                                   c             [a,b] a

Страницы