Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 297 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 17
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
В этой главе будем рассматривать функции f(z) =
= f(x + iy) комплексного переменного z = x + iy. На
этот случай переносятся понятия непрерывности функции
в точке и на множестве, сходимости в точке и равномерной
сходимости на множестве функциональной последователь-
ности и функционального ряда.
Следует лишь в определениях 16.3.1, 16.1.1, 16.1.2 заме-
нить E ⊂ R
d
на E ⊂ C, x, x
(0)
∈ E — на z, z
0
∈ E. При
этом сохраняются, очевидно, все теоремы §15.1 и §15.2 и
теоремы 16.3.1, 16.3.1
0
.
§ 17.1. Свойства степенных рядов
Определение 1. Функциональный ряд
∞
X
n=0
a
n
(z − z
0
)
n
, (1)
где a
n
и z
0
— комплексные числа, а z — комплексное пере-
менное, называется степенным рядом.
Определение 2. Радиусом сходимости степенного
ряда (1) называется число или +∞:
R =
1
lim
n→∞
n
p
|a
n
|
, 0 6 R 6 +∞, (2)
кругом сходимости ряда (1) называется круг
{z : |z − z
0
| < R}. (3)
Круг сходимости является открытым множеством. При
R = +∞ он совпадает со всей комплексной плоскостью.
Формула (2) называется формулой Коши–Адамара.
                 Глава 17
             СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
   В этой главе будем рассматривать функции f (z) =
= f (x + iy) комплексного переменного z = x + iy. На
этот случай переносятся понятия непрерывности функции
в точке и на множестве, сходимости в точке и равномерной
сходимости на множестве функциональной последователь-
ности и функционального ряда.
   Следует лишь в определениях 16.3.1, 16.1.1, 16.1.2 заме-
нить E ⊂ Rd на E ⊂ C, x, x(0) ∈ E — на z, z0 ∈ E. При
этом сохраняются, очевидно, все теоремы § 15.1 и § 15.2 и
теоремы 16.3.1, 16.3.10 .

        § 17.1. Свойства степенных рядов
   Определение 1. Функциональный ряд
                      ∞
                      X
                            an (z − z0 )n ,             (1)
                     n=0
где an и z0 — комплексные числа, а z — комплексное пере-
менное, называется степенным рядом.
   Определение 2. Радиусом сходимости степенного
ряда (1) называется число или +∞:
                        1
             R=         p
                        n
                                   ,   0 6 R 6 +∞,      (2)
                  lim      |an |
                  n→∞

кругом сходимости ряда (1) называется круг
                    {z : |z − z0 | < R}.                (3)

   Круг сходимости является открытым множеством. При
R = +∞ он совпадает со всей комплексной плоскостью.
   Формула (2) называется формулой Коши–Адамара.

Страницы