Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 296 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

296 Глава 16. Функциональные последовательности и ряды
Числовую сходящуюся последовательность {f
n
(c)}
можно считать, очевидно, функциональной последова-
тельностью, равномерно сходящейся на [a, b]. Тогда
последовательность {f
n
} равномерно сходится на [a, b] (см.
упражнение 16.1.1) к некоторой функции f.
Переходя в левой части последней формулы к пределу
при n → ∞, получаем, что
f(x) − f(c) =
Z
x
a
ϕ(t) dt ∀x ∈ [a, b].
Правая часть этого равенства (как интеграл с пере-
менным верхним пределом от непрерывной функции) явля-
ется дифференцируемой функцией. Следовательно, тако-
вой является и левая часть, а значит, и функция f . Дифф е-
ренцируя равенство почленно, получаем, что f
0
(x) = ϕ(x)
∀x ∈ [a, b].
Теорема доказана.
Теорема 3
0
. (о почленном дифференцировании
ряда). Пусть ряд
P
u
k
непрерывно дифференцируемых
на [a, b] функций сходится в точке c ∈ [a, b], а ряд
P
u
0
k
равномерно сходится на [a, b].
Тогда ряд
P
u
k
равномерно сходится на [a, b], сумма его
непрерывно дифференцируема на [a, b] и
X
u
k
0
=
X
u
0
k
на [a, b].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим f
n
=
n
P
k=1
u
k
и приме-
ним теорему 3.
296     Глава 16. Функциональные последовательности и ряды

   Числовую сходящуюся последовательность {fn (c)}
можно считать, очевидно, функциональной последова-
тельностью, равномерно сходящейся на [a, b].         Тогда
последовательность {fn } равномерно сходится на [a, b] (см.
упражнение 16.1.1) к некоторой функции f .
   Переходя в левой части последней формулы к пределу
при n → ∞, получаем, что
                           Z x
           f (x) − f (c) =     ϕ(t) dt ∀ x ∈ [a, b].
                             a
    Правая часть этого равенства (как интеграл с пере-
менным верхним пределом от непрерывной функции) явля-
ется дифференцируемой функцией. Следовательно, тако-
вой является и левая часть, а значит, и функция f . Диффе-
ренцируя равенство почленно, получаем, что f 0 (x) = ϕ(x)
∀ x ∈ [a, b].
    Теорема доказана.
   Теорема 30 . (оPпочленном дифференцировании
ряда). Пусть ряд       uk непрерывно дифференцируемыхP 0
на [a, b] функций сходится в точке c ∈ [a, b], а ряд  uk
равномерно сходится
              P      на [a, b].
   Тогда ряд uk равномерно сходится на [a, b], сумма его
непрерывно дифференцируема на [a, b] и
               X 0 X
                   uk =         u0k на [a, b].
                                                  n
                                                  P
      Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим fn =         uk и приме-
                                                  k=1
ним теорему 3.

Страницы