Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 294 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

294 Глава 16. Функциональные последовательности и ряды
Теорема 1
0
. Пусть функциональный ряд
P
u
k
, u
k
:
E → C, E ⊂ R
d
, равномерно сходится на E. Если все
члены ряда u
k
непрерывны в точке x
(0)
∈ E по множеству
E, то сумма ряда S =
P
u
k
непрерывна в точке x
(0)
по
множеству E.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно применить тео-
рему 1 к функциям f
n
=
n
P
k=1
u
k
, f = S.
В следующих теоремах функции будем считать дей-
ствительнозначными, а множество E = [a, b] ⊂ R.
Теорема 2. Пусть функции f
n
непрерывны на отрезке
[a, b] при всех n ∈ N и f
n
⇒
[a,b]
f при n → ∞.
Тогда
Z
x
a
f
n
(t) dt ⇒
[a,b]
Z
x
a
f(t) dt при n → ∞. (3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f по теореме 1 непре-
рывна на [a, b] и, следовательно, интегрируема на [a, b].
Пусть ε > 0. Тогда в силу равномерной сходимости {f
n
} к
функции f
∃n(ε) : |f
n
(x) −f(x)| < ε ∀x ∈ [a, b], ∀n > n(ε).
Следовательно, для всех n > n(ε)
sup
a6x6b
Z
x
a
f
n
(t) dt −
Z
x
a
f(t) dt
6
Z
b
a
|f
n
(t) −f(t)|dt < ε(b −a)),
откуда и следует утверждение теоремы.
Следствие 1. В условиях теоремы
lim
n→∞
Z
x
a
f
n
(t) dt =
Z
x
a
lim
n→∞
f
n
(t) dt ∀x ∈ [a, b]. (4)
В связи с этим равенством теорему 2 называют теоре-
мой о переходе к пределу под знаком интеграла.
294     Глава 16. Функциональные последовательности и ряды

   Теорема 10 . Пусть функциональный ряд
                                           P
                                              uk , uk :
E → C, E ⊂ Rd , равномерно сходится на E. Если все
                                 (0)
                      P в точке x ∈ E по множеству
члены ряда uk непрерывны
E, то сумма ряда S =    uk непрерывна в точке x(0) по
множеству E.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно применить тео-
                           Pn
рему 1 к функциям fn =         uk , f = S.
                                     k=1
   В следующих теоремах функции будем считать дей-
ствительнозначными, а множество E = [a, b] ⊂ R.
     Теорема 2. Пусть функции fn непрерывны на отрезке
[a, b] при всех n ∈ N и fn ⇒ f при n → ∞.
                                     [a,b]
      Тогда
              Z    x                 Z    x
                       fn (t) dt ⇒            f (t) dt при n → ∞.           (3)
               a                [a,b] a

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f по теореме 1 непре-
рывна на [a, b] и, следовательно, интегрируема на [a, b].
Пусть ε > 0. Тогда в силу равномерной сходимости {fn } к
функции f
      ∃ n(ε) : |fn (x) − f (x)| < ε ∀ x ∈ [a, b],             ∀ n > n(ε).
Следовательно, для всех n > n(ε)
     Z x           Z x        Z b
 sup    fn (t) dt − f (t) dt 6 |fn (t) − f (t)| dt < ε(b − a)),
a6x6b     a                 a                   a
откуда и следует утверждение теоремы.
      Следствие 1. В условиях теоремы
             Z x             Z x
         lim     fn (t) dt =     lim fn (t) dt             ∀ x ∈ [a, b].    (4)
         n→∞ a                        a n→∞

   В связи с этим равенством теорему 2 называют теоре-
мой о переходе к пределу под знаком интеграла.

Страницы