Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 298 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

298 Глава 17. Степенные ряды
Вопросы сходимости рядов (1) достаточно изучить в
случае z
0
= 0, т. е. для рядов вида
∞
X
n=0
a
n
z
n
. (4)
Напомним признак Коши сходимости числового ряда с
неотрицательными членами.
Признак Коши. Пусть
∞
P
1
b
n
— ряд с неотрицательными
членами, l = lim
n→∞
n
√
b
n
. Тогда
1.
◦
при l < 1 ряд
∞
P
1
b
n
сходится;
2.
◦
при l > 1 ряд
∞
P
1
b
n
расходится и даже его общий
член не стремится к нулю.
Применим признак Коши к изучению абсолютной схо-
димости ряда (4). Имеем
l = lim
n
p
|a
n
z
n
| = |z|lim
n
p
|a
n
| =
|z|
R
,
где R — радиус сходимости ряда (4). Сравнивая l =
|z|
R
с
единицей, получаем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть R — радиус сходимости ряда (4).
Тогда
1. при |z| < R ряд (4) сходится и даже абсолютно;
2. при |z| > R ряд (4) расходится и даже его общий член
a
n
z
n
не стремится к нулю при n → ∞.
З а м е ч а н и е 1. При |z| = R, т. е. на границе
круга сходимости, ряд (4) может как сходиться, так и рас-
ходиться.
З а м е ч а н и е 2. Теорема 1 дает возможность
находить радиус сходимости степенного ряда, не прибегая
к формуле (2).
298                    Глава 17. Степенные ряды

   Вопросы сходимости рядов (1) достаточно изучить в
случае z0 = 0, т. е. для рядов вида
                          X∞
                              an z n .            (4)
                                    n=0
   Напомним признак Коши сходимости числового ряда с
неотрицательными членами.

                                     ∞
                                     P
Признак Коши.              Пусть          bn — ряд с неотрицательными
                       √             1
                       n
членами, l = lim       bn . Тогда
                 n→∞
                        ∞
      1.◦ при l < 1 ряд
                        P
                            bn сходится;
                            1
                                ∞
      2.◦
                                P
            при l > 1 ряд           bn расходится и даже его общий
                                1
      член не стремится к нулю.
   Применим признак Коши к изучению абсолютной схо-
димости ряда (4). Имеем
                  p                    p         |z|
          l = lim n |an z n | = |z|lim n |an | =     ,
                                                  R
                                                                 |z|
где R — радиус сходимости ряда (4). Сравнивая l = R с
единицей, получаем следующую теорему.
    Теорема 1. Пусть R — радиус сходимости ряда (4).
Тогда
1. при |z| < R ряд (4) сходится и даже абсолютно;
2. при |z| > R ряд (4) расходится и даже его общий член
   an z n не стремится к нулю при n → ∞.
   З а м е ч а н и е 1. При |z| = R, т. е. на границе
круга сходимости, ряд (4) может как сходиться, так и рас-
ходиться.
   З а м е ч а н и е 2. Теорема 1 дает возможность
находить радиус сходимости степенного ряда, не прибегая
к формуле (2).

Страницы