Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 300 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

300 Глава 17. Степенные ряды
1.
◦
если ряд (4) сходится в точке z
2
(или если общий
член его в точке z
2
стремится к нулю), то он схо-
дится абсолютно в точке z
1
;
2.
◦
если ряд (4) расходится в точке z
1
, то он расходится
в точке z
2
и общий член его в точке z
2
не стремится
к нулю;
3.
◦
если ряд (4) сходится в точке z
2
(или общий член
его в точке z
2
стремится к нулю), то он равномерно
сходится на замкнутом круге {z: |z| 6 r} при любом
r, 0 < r < |z
2
|.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть R — радиус сходимости
ряда (4).
1.
◦
В силу теоремы 1 |z
2
| 6 R. Тогда |z
1
| < R, и утвер-
ждение следует из теоремы 1.
2.
◦
В силу теоремы 1 |z
1
| > R. Тогда |z
2
| > R, и утвер-
ждение следует из теоремы 1.
3.
◦
В силу теоремы 1 0 < r < |z
2
| 6 R, и утверждение
следует из теоремы 2.
§ 17.2. Аналитические функции
Определение 1. Говорят, что на данном множестве
функция представима рядом, если на этом множестве она
равна сумме этого ряда.
Определение 2.
1.
◦
Аналитической в точке z
0
∈ C функцией называ-
ется функция f, которая при некотором ρ > 0 пред-
ставима рядом
f(z) =
∞
X
k=0
a
k
(z − z
0
)
k
, |z − z
0
| < ρ. (1)
Множество всех таких функций обозначим через
A(z
0
).
300                  Глава 17. Степенные ряды

      1.◦ если ряд (4) сходится в точке z2 (или если общий
          член его в точке z2 стремится к нулю), то он схо-
          дится абсолютно в точке z1 ;
        ◦
      2. если ряд (4) расходится в точке z1 , то он расходится
          в точке z2 и общий член его в точке z2 не стремится
          к нулю;
      3.◦ если ряд (4) сходится в точке z2 (или общий член
          его в точке z2 стремится к нулю), то он равномерно
          сходится на замкнутом круге {z: |z| 6 r} при любом
          r, 0 < r < |z2 |.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть R — радиус сходимости
ряда (4).
   1.◦ В силу теоремы 1 |z2 | 6 R. Тогда |z1 | < R, и утвер-
       ждение следует из теоремы 1.
   2.◦ В силу теоремы 1 |z1 | > R. Тогда |z2 | > R, и утвер-
       ждение следует из теоремы 1.
     ◦
   3. В силу теоремы 1 0 < r < |z2 | 6 R, и утверждение
       следует из теоремы 2.

            § 17.2. Аналитические функции
   Определение 1. Говорят, что на данном множестве
функция представима рядом, если на этом множестве она
равна сумме этого ряда.
      Определение 2.
      1.◦ Аналитической в точке z0 ∈ C функцией называ-
          ется функция f , которая при некотором ρ > 0 пред-
          ставима рядом
                           ∞
                           X
                 f (z) =         ak (z − z0 )k ,   |z − z0 | < ρ.   (1)
                           k=0

         Множество всех таких функций обозначим через
         A(z0 ).

Страницы