Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 301 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17.2. Аналитические функции 301
2.
◦
Аналитической в точке x
0
∈ R функцией веще-
ственного аргумента называется функция f, кото-
рая при некотором ρ > 0 представима рядом
f(z) =
∞
X
k=0
a
k
(x − x
0
)
k
, x ∈ R, |x −x
0
| < ρ.
(2)
Множество всех таких функций обозначим через
A(x
0
).
3.
◦
Вещественной аналитической в точке x
0
функцией
называется функция f, которая при некотором ρ > 0
представима рядом (2) с вещественными коэ ффици-
ентами a
k
, ∀k ∈ N
0
. Множество всех таких функ-
ций обозначим через RA(x
0
). (R — от англ. слова
«Real»).
Определение 3. Радиус сходимости ряда
∞
P
k=0
a
k
(x −
− x
0
)
k
из (2) определяется формулой (17.1.2). Интервалом
сходимости этого ряда называется интервал (x
0
− R, x
0
+
+ R).
В качестве следствия из теорем 17.1.1, 17.1.2 получаем,
что ряд
∞
P
k=0
a
k
(x − x
0
)
k
сходится абсолютно на интервале
сходимости и расходится (и даже общий член его не стре-
мится к нулю) вне замыкания интервала сходимости. Этот
ряд сходится равномерно на любом отрезке из интервала
сходимости.
Лемма 1 (о сохранении радиуса сходимости при
почленном дифференцировании). Радиусы сходимо-
сти рядов
∞
P
k=0
a
k
(x − x
0
)
k
и
∞
P
k=1
ka
k
(x − x
0
)
k−1
совпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть радиусы сходимости
указанных рядов соответственно R и R
0
. Очевидно, что
ряд
∞
P
k=1
ka
k
(x−x
0
)
k
сходится там же, где
∞
P
k=1
ka
k
(x−x
0
)
k−1
,
                 § 17.2. Аналитические функции             301

   2.◦ Аналитической в точке x0 ∈ R функцией веще-
       ственного аргумента называется функция f , кото-
       рая при некотором ρ > 0 представима рядом
                 ∞
                 X
         f (z) =   ak (x − x0 )k , x ∈ R, |x − x0 | < ρ. (2)
                   k=0
       Множество всех таких функций обозначим через
       A(x0 ).
   3.◦ Вещественной аналитической в точке x0 функцией
       называется функция f , которая при некотором ρ > 0
       представима рядом (2) с вещественными коэффици-
       ентами ak , ∀ k ∈ N0 . Множество всех таких функ-
       ций обозначим через RA(x0 ). (R — от англ. слова
       «Real»).
                                                ∞
                                                P
   Определение 3. Радиус сходимости ряда          ak (x −
                                                    k=0
− x0 )k из (2) определяется формулой (17.1.2). Интервалом
сходимости этого ряда называется интервал (x0 − R, x0 +
+ R).
   В качестве следствия из теорем 17.1.1, 17.1.2 получаем,
           ∞
              ak (x − x0 )k сходится абсолютно на интервале
          P
что ряд
          k=0
сходимости и расходится (и даже общий член его не стре-
мится к нулю) вне замыкания интервала сходимости. Этот
ряд сходится равномерно на любом отрезке из интервала
сходимости.
   Лемма 1 (о сохранении радиуса сходимости при
почленном дифференцировании). Радиусы сходимо-
          ∞                 ∞
            ak (x − x0 )k и   kak (x − x0 )k−1 совпадают.
          P                 P
сти рядов
           k=0                 k=1
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть радиусы сходимости
указанных рядов соответственно R и R0 . Очевидно, что
    ∞                                      ∞
       kak (x − x0 )k сходится там же, где   kak (x − x0 )k−1 ,
    P                                      P
ряд
    k=1                                     k=1

Страницы