Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 303 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17.2. Аналитические функции 303
Теорема 2 (единственности для A(z
0
)). Пусть f ∈
∈ A(z
0
). Тогда ее представление (1) единственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема 2 является следствием
теоремы 1. Покажем, что коэффициенты разложения (1)
однозначно определяются функцией f.
Пусть для f имеется представление (1), в котором z
0
=
= x
0
+ iy
0
, z = x + iy. Рассмотрим (1) при y = y
0
. Тогда
ϕ(x) B f(x + iy
0
) =
∞
X
k=0
a
k
(x − x
0
)
k
, |x − x
0
| < ρ. (5)
В силу теоремы 1 коэффициенты a
k
однозначно опреде-
ляются функцией ϕ: a
k
=
ϕ
(k)
(x
0
)
k!
∀k ∈ N. Отсюда следует
утверждение теоремы 2.
Теорема 3 (о почленном дифф еренцировании и
интегрировании). Пусть R > 0 — радиус сходимости
ряда
∞
X
k=0
a
k
(x − x
0
)
k
C f(x), (6)
a
k
— вещественные числа.
Тогда при |x − x
0
| < R
1.
◦
f имеет производные всех порядков, которые нахо-
дятся почленным дифференцированием;
2.
◦
∀x ∈ (x
0
− R, x
0
+ R)
Z
x
x
0
f(t) dt =
∞
X
k=0
a
k
(x − x
0
)
k+1
k + 1
,
т. е. внутри интервала сходимости степенной ряд
можно почленно интегрировать;
3.
◦
степенные ряды, полученные почленным диффе-
ренцированием или почленным интегрированием,
имеют тот же радиус сходимости R.
              § 17.2. Аналитические функции                         303

   Теорема 2 (единственности для A(z0 )). Пусть f ∈
∈ A(z0 ). Тогда ее представление (1) единственно.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема 2 является следствием
теоремы 1. Покажем, что коэффициенты разложения (1)
однозначно определяются функцией f .
   Пусть для f имеется представление (1), в котором z0 =
= x0 + iy0 , z = x + iy. Рассмотрим (1) при y = y0 . Тогда
                           ∞
                           X
   ϕ(x) B f (x + iy0 ) =         ak (x − x0 )k ,   |x − x0 | < ρ.   (5)
                           k=0

   В силу теоремы 1 коэффициенты ak однозначно опреде-
                             ϕ(k) (x0 )
ляются функцией ϕ: ak =         k!      ∀ k ∈ N. Отсюда следует
утверждение теоремы 2.

   Теорема 3 (о почленном дифференцировании и
интегрировании). Пусть R > 0 — радиус сходимости
ряда
               ∞
               X
                 ak (x − x0 )k C f (x),       (6)
                   k=0
ak — вещественные числа.
   Тогда при |x − x0 | < R
   1.◦ f имеет производные всех порядков, которые нахо-
       дятся почленным дифференцированием;
     ◦
   2. ∀ x ∈ (x0 − R, x0 + R)
                 Z x            ∞
                                X    (x − x0 )k+1
                     f (t) dt =   ak              ,
                  x0                    k+1
                                     k=0

       т. е. внутри интервала сходимости степенной ряд
       можно почленно интегрировать;
   3.◦ степенные ряды, полученные почленным диффе-
       ренцированием или почленным интегрированием,
       имеют тот же радиус сходимости R.

Страницы