Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 305 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17.3. Разложение функций в ряд Тейлора 305
P
1
x
e
−
1
x
2
, где P — соответствующий многочлен, так что
при любом n ∈ N
0
f
(n)
(x) → 0 при x → 0.
Отсюда вытекает, что
f
(n)
(x
0
) = 0 ∀n ∈ N. (2)
Покажем это сначала для n = 1. С помощью формулы
конечных приращений Лагранжа получаем, что
f(x) − x(0)
x
= f(θx) → 0 при x → 0,
так что f
0
(0) = 0. Применяя математическую индукцию и
формулу конечных приращений Лагранжа, получаем (2).
Итак, функция ϕ бесконечно дифференцируема в точке
x
0
= 0. Все коэффициенты ее ряда Тейлора в точке 0, а
значит, и сумма, равны нулю. Следовательно, ϕ(x) совпа-
дает с суммой своего ряда Тейлора только при x = 0.
Пусть ∃f
(n)
(x
0
) при ∀n ∈ N. Запишем разложение f по
формуле Тейлора:
f(x) = S
n
(x) + r
n
(x), (3)
где S
n
(x) =
n
P
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
— многочлен Тейлора,
r
n
(x) — остаточный член формулы Тейлора. Заметим,
что S
n
(x) является также частичной суммой ряда Тейлора
функции f . Поэтому для фиксированного x эквивалентны
соотношения
"
f(x) =
∞
X
n=0
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
#
⇐⇒
⇔ [S
n
(x) → f (x) при n → ∞] ⇔ [r
n
(x) → 0 при n → ∞].
Таким образом, для доказательства возможности разложе-
ния функции f в степенной ряд (т. е. в ряд Тейлора) в
        § 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора           305
         1
   
P x1 e− x2 , где P — соответствующий многочлен, так что
при любом n ∈ N0
                  f (n) (x) → 0    при x → 0.
Отсюда вытекает, что
                     f (n) (x0 ) = 0   ∀ n ∈ N.            (2)
Покажем это сначала для n = 1. С помощью формулы
конечных приращений Лагранжа получаем, что
            f (x) − x(0)
                         = f (θx) → 0 при x → 0,
                  x
так что f 0 (0) = 0. Применяя математическую индукцию и
формулу конечных приращений Лагранжа, получаем (2).
   Итак, функция ϕ бесконечно дифференцируема в точке
x0 = 0. Все коэффициенты ее ряда Тейлора в точке 0, а
значит, и сумма, равны нулю. Следовательно, ϕ(x) совпа-
дает с суммой своего ряда Тейлора только при x = 0.
   Пусть ∃ f (n) (x0 ) при ∀ n ∈ N. Запишем разложение f по
формуле Тейлора:
                     f (x) = Sn (x) + rn (x),              (3)
               n
                 f (k) (x0 )
                               (x − x0 )k — многочлен Тейлора,
               P
где Sn (x) =          k!
               k=0
rn (x) — остаточный член формулы Тейлора. Заметим,
что Sn (x) является также частичной суммой ряда Тейлора
функции f . Поэтому для фиксированного x эквивалентны
соотношения
          ∞
"                                   #
          X  f (n) (x0 )          n
  f (x) =                (x − x0 )    ⇐⇒
                 n!
        n=0
   ⇔ [Sn (x) → f (x) при n → ∞] ⇔ [rn (x) → 0 при n → ∞].
Таким образом, для доказательства возможности разложе-
ния функции f в степенной ряд (т. е. в ряд Тейлора) в

Страницы