ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§17.3. Разложение функций в ряд Тейлора 307
Предположим, что формула (7) верна при n − 1 вместо
n, т. е.
f(x) =
n−1
X
k=0
f
(n+1)
(x
0
)
k!
(x−x
0
)
k
+
1
(n − 1)!
Z
x
x
0
(x−t)
n−1
f
(n)
(t) dt.
(8)
Преобразуем интеграл в ее правой части с помощью ин-
тегрирования по частям:
1
(n − 1)!
Z
x
x
0
(x − t)
n−1
f
(n)
(t) dt =
=
−
1
n!
f
(n)
(t)(x − t)
n
t=x
t=x
0
+
1
n!
Z
x
x
0
(x − t)
n
f
(n+1)
(t) dt =
=
1
n!
f
(n)
(x
(0)
)(x − x
0
)
n
+
1
n!
Z
x
x
0
(x − t)
n
f
(n+1)
(t) dt.
Подставляя это выражение в (8), приходим к (7).
Для доказательства (5) применим к интегралу (4) инте-
гральную теорему о среднем (теорема 14.3.2), заметив, что
множитель (x−t)
n
подынтегрального выражения не меняет
знака. Тогда
r
n
(x) =
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x − x
0
))
n!
Z
x
x
0
(x − t)
n
dt =
=
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x − x
0
))
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
.
Для доказательства (6) иначе применим к интегралу (4)
ту же интегральную теорему о среднем, вынося из-под
знака интеграла «среднее значение» всей подынтегральной
функции. Тогда
r
n
(x) =
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x − x
0
))
n!
[x −(x
0
+ θ(x −x
0
))]
n
(x −x
0
),
что совпадает с (6).
§ 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора 307 Предположим, что формула (7) верна при n − 1 вместо n, т. е. n−1 X f (n+1) (x0 ) Z x k 1 f (x) = (x−x0 ) + (x−t)n−1 f (n) (t) dt. k! (n − 1)! x0 k=0 (8) Преобразуем интеграл в ее правой части с помощью ин- тегрирования по частям: Z x 1 (x − t)n−1 f (n) (t) dt = (n − 1)! x0 t=x 1 x Z 1 (n) n = − f (t)(x − t) + (x − t)n f (n+1) (t) dt = n! t=x0 n! x0 Z x 1 (n) (0) n 1 = f (x )(x − x0 ) + (x − t)n f (n+1) (t) dt. n! n! x0 Подставляя это выражение в (8), приходим к (7). Для доказательства (5) применим к интегралу (4) инте- гральную теорему о среднем (теорема 14.3.2), заметив, что множитель (x−t)n подынтегрального выражения не меняет знака. Тогда f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) x Z rn (x) = (x − t)n dt = n! x0 f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) = (x − x0 )n+1 . (n + 1)! Для доказательства (6) иначе применим к интегралу (4) ту же интегральную теорему о среднем, вынося из-под знака интеграла «среднее значение» всей подынтегральной функции. Тогда f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) rn (x) = [x − (x0 + θ(x − x0 ))]n (x − x0 ), n! что совпадает с (6).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 305
- 306
- 307
- 308
- 309
- …
- следующая ›
- последняя »