Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 307 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

§17.3. Разложение функций в ряд Тейлора 307
Предположим, что формула (7) верна при n 1 вместо
n, т. е.
f(x) =
n1
X
k=0
f
(n+1)
(x
0
)
k!
(xx
0
)
k
+
1
(n 1)!
Z
x
x
0
(xt)
n1
f
(n)
(t) dt.
(8)
Преобразуем интеграл в ее правой части с помощью ин-
тегрирования по частям:
1
(n 1)!
Z
x
x
0
(x t)
n1
f
(n)
(t) dt =
=
1
n!
f
(n)
(t)(x t)
n
t=x
t=x
0
+
1
n!
Z
x
x
0
(x t)
n
f
(n+1)
(t) dt =
=
1
n!
f
(n)
(x
(0)
)(x x
0
)
n
+
1
n!
Z
x
x
0
(x t)
n
f
(n+1)
(t) dt.
Подставляя это выражение в (8), приходим к (7).
Для доказательства (5) применим к интегралу (4) инте-
гральную теорему о среднем (теорема 14.3.2), заметив, что
множитель (xt)
n
подынтегрального выражения не меняет
знака. Тогда
r
n
(x) =
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x x
0
))
n!
Z
x
x
0
(x t)
n
dt =
=
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x x
0
))
(n + 1)!
(x x
0
)
n+1
.
Для доказательства (6) иначе применим к интегралу (4)
ту же интегральную теорему о среднем, вынося из-под
знака интеграла «среднее значение» всей подынтегральной
функции. Тогда
r
n
(x) =
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x x
0
))
n!
[x (x
0
+ θ(x x
0
))]
n
(x x
0
),
что совпадает с (6).
           § 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора                  307

    Предположим, что формула (7) верна при n − 1 вместо
n, т. е.
         n−1
         X f (n+1) (x0 )                        Z x
                                   k      1
f (x) =                  (x−x0 ) +                (x−t)n−1 f (n) (t) dt.
                 k!                   (n − 1)! x0
         k=0
                                                                      (8)
    Преобразуем интеграл в ее правой части с помощью ин-
тегрирования по частям:
          Z x
    1
              (x − t)n−1 f (n) (t) dt =
(n − 1)! x0
                             t=x
                                        1 x
                                          Z
         1 (n)            n
 = − f (t)(x − t)                    +         (x − t)n f (n+1) (t) dt =
         n!                     t=x0    n!  x0
                                             Z x
              1 (n) (0)               n    1
           =    f (x )(x − x0 ) +                (x − t)n f (n+1) (t) dt.
             n!                            n! x0
    Подставляя это выражение в (8), приходим к (7).
    Для доказательства (5) применим к интегралу (4) инте-
гральную теорему о среднем (теорема 14.3.2), заметив, что
множитель (x−t)n подынтегрального выражения не меняет
знака. Тогда
         f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) x
                                  Z
rn (x) =                              (x − t)n dt =
                     n!            x0
                                f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
                            =                             (x − x0 )n+1 .
                                         (n + 1)!
   Для доказательства (6) иначе применим к интегралу (4)
ту же интегральную теорему о среднем, вынося из-под
знака интеграла «среднее значение» всей подынтегральной
функции. Тогда
           f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
rn (x) =                             [x − (x0 + θ(x − x0 ))]n (x − x0 ),
                       n!
что совпадает с (6).