Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 308 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

308 Глава 17. Степенные ряды
З а м е ч а н и е 1. Формула (5) уже была доказана
раньше другим способом (теорема 6.2.3), причем при более
общих предположениях относительно функции f. Доста-
точно было считать, что f
(n)
непрерывна на отрезке [x
0
, x]
(или [x, x
0
]), а f
(n+1)
существует на интервале (x
0
, x) (или
(x, x
0
)).
Перейдем к выводу разложений основных элементарных
функций в ряд Тейлора (1), считая x
0
= 0. Иначе говоря,
для каждой рассматриваемой ниже функции f выясним, на
каком множестве E ⊂ R выполняется равенство
f(x) =
∞
X
k=0
f
(k)
(0)
k!
x
k
.
Пример 1. f(x) = e
x
. Покажем, что
e
x
=
∞
X
k=0
x
k
k!
= 1 +
x
1
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+ . . . ∀x ∈ (−∞, +∞). (9)
Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
имеет вид
r
n
(x) =
e
θx
(n + 1)!
x
n+1
,
так что для каждого фиксированного x ∈ (−∞, +∞)
|r
n
(x)| 6
1
(n + 1)!
e
|x|
|x|
n+1
→ 0 при n → ∞.
Отсюда следует (9). Из (9) вытекает в силу теоремы 17.1.1,
что радиус сходимости степенного ряда (9) R = +∞.
Пример 2. f(x) = sin x. Покажем, что
sin x =
∞
X
k=0
(−1)
k
(2k + 1)!
x
2k+1
= x −
x
3
3!
+
x
5
5!
− . . .
∀x ∈ (−∞, +∞).
(10)
308                         Глава 17. Степенные ряды

    З а м е ч а н и е 1. Формула (5) уже была доказана
раньше другим способом (теорема 6.2.3), причем при более
общих предположениях относительно функции f . Доста-
точно было считать, что f (n) непрерывна на отрезке [x0 , x]
(или [x, x0 ]), а f (n+1) существует на интервале (x0 , x) (или
(x, x0 )).
    Перейдем к выводу разложений основных элементарных
функций в ряд Тейлора (1), считая x0 = 0. Иначе говоря,
для каждой рассматриваемой ниже функции f выясним, на
каком множестве E ⊂ R выполняется равенство
                                      ∞
                                      X f (k) (0)
                            f (x) =                 xk .
                                            k!
                                      k=0

      Пример 1. f (x) = ex . Покажем, что
        ∞
        X xk                x x2 x3
 ex =               = 1+      +    +    + . . . ∀ x ∈ (−∞, +∞). (9)
              k!            1   2!   3!
        k=0

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
имеет вид
                            eθx
                 rn (x) =          xn+1 ,
                          (n + 1)!
так что для каждого фиксированного x ∈ (−∞, +∞)
                            1
        |rn (x)| 6                e|x| |x|n+1 → 0      при n → ∞.
                         (n + 1)!
Отсюда следует (9). Из (9) вытекает в силу теоремы 17.1.1,
что радиус сходимости степенного ряда (9) R = +∞.
   Пример 2. f (x) = sin x. Покажем, что
               ∞
               X   (−1)k               x3 x5
       sin x =             x2k+1 = x −    +    − ...
                 (2k + 1)!             3!   5!                      (10)
                   k=0
                            ∀ x ∈ (−∞, +∞).

Страницы