Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 309 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17.3. Разложение функций в ряд Тейлора 309
Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
имеет вид
r
n
(x) = ±
1
2(n + 1)!
(
sin θx
cos θx
)
,
так что для каждого фиксированного x ∈ (−∞, +∞)
|r
n
(x)| 6
1
(n + 1)!
→ 0 при n → ∞.
Отсюда следует (10). Из (10) вытекает, в силу тео-
ремы 17.1.1, что радиус сходимости степенного ряда (10)
R = +∞.
Пример 3. f (x) = cos x. Справедливость разложения
cos x =
∞
X
k=0
(−1)
k
(2k)!
x
2k
= 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
− . . .
∀x ∈ (−∞, +∞)
(11)
показывается так же, как это сделано для (10). Из (11)
вытекает, что радиус сходимости степенного ряда (11) R =
= +∞.
Пример 4. f (x) = ln(1 + x). Тогда
f
(k)
(x) =
(−1)
k−1
(k − 1)!
(1 + x)
k
,
f
(k)
(0)
k!
=
(−1)
k−1
k
.
Покажем, что
ln(1 + x) =
∞
X
k=1
(−1)
k−1
k
x
k
∀x ∈ (−1, +1]. (12)
Пусть сначала 0 6 x 6 1. Тогда остаточный член в форме
Лагранжа
r
n
(x) =
(−1)
n
(n + 1)(1 + θx)
n+1
, |r
n
(x)| 6
1
n + 1
→ 0 при n →∞.
Следовательно, r
n
⇒
[0,1]
0.
           § 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора                   309

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
имеет вид                         (        )
                             1      sin θx
              rn (x) = ±                     ,
                         2(n + 1)! cos θx
так что для каждого фиксированного x ∈ (−∞, +∞)
                              1
             |rn (x)| 6             →0        при n → ∞.
                           (n + 1)!
Отсюда следует (10). Из (10) вытекает, в силу тео-
ремы 17.1.1, что радиус сходимости степенного ряда (10)
R = +∞.
   Пример 3. f (x) = cos x. Справедливость разложения
                     ∞
                     X (−1)k                    x2 x4
           cos x =                 x2k = 1 −       +    − ...
                           (2k)!                2!   4!               (11)
                     k=0
                            ∀ x ∈ (−∞, +∞)
показывается так же, как это сделано для (10). Из (11)
вытекает, что радиус сходимости степенного ряда (11) R =
= +∞.
   Пример 4. f (x) = ln(1 + x). Тогда
                    (−1)k−1 (k − 1)!          f (k) (0)   (−1)k−1
      f (k) (x) =                    ,                  =         .
                       (1 + x)k                  k!          k
Покажем, что
                           ∞
                           X (−1)k−1
           ln(1 + x) =                   xk     ∀ x ∈ (−1, +1].       (12)
                                   k
                           k=1

Пусть сначала 0 6 x 6 1. Тогда остаточный член в форме
Лагранжа
                 (−1)n                      1
rn (x) =                  n+1
                              , |rn (x)| 6     → 0 при n → ∞.
           (n + 1)(1 + θx)                 n+1
Следовательно, rn ⇒ 0.
                       [0,1]

Страницы