Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 311 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17.3. Разложение функций в ряд Тейлора 311
Остаточный член формулы Тейлора в интегральной
форме имеет вид
r
n
(x) =
1
n!
Z
x
0
(x − t)
n
f
(n+1)
(t) dt =
=
α(α − 1) . . .(α − n)
n!
Z
x
0
(x − t)
n
(1 + t)
α−n−1
dt.
Отсюда
|r
n+1
(x)|
|r
n
(x)|
=
|α − n − 1|
n + 1
R
x
0
|x − t|
n
(1 + t)
α−n−1
|x − t|
1 + t
dt
R
x
0
|x − t|
n
(1 + t)
α−n−1
dt
.
Заметим, что
|x − t|
1 + t
6
|x| − |t|
1 − |t|
= |x|
1 −
|t|
|x|
1 − |t|
6 |x|.
Следовательно, при фиксированном x и достаточно малом
ε > 0
|r
n+1
(x)|
|r
n
(x)|
6
|n + 1 − α|
n + 1
|x| 6 (1 + ε)|x| = q < 1
при ∀n > n
ε
.
Это означает, что |r
n
(x)| → 0 (n → ∞) не медленнее,
чем член убывающей геометрической прогресс ии. Таким
образом, (13) установлено.
Отметим важные частные случаи (α = −1) формулы
(13):
1
1 − x
=
∞
X
k=0
x
k
,
1
1 + x
=
∞
X
k=0
(−1)
k
x
k
(|x| < 1).
Пример 6.
ch x =
e
x
+ r
−x
2
=
∞
X
k=0
x
2k
(2k)!
,
sh x =
e
x
− r
−x
2
=
∞
X
k=0
x
2k+1
(2k + 1)!
, x ∈ (−∞, +∞).
(14)
          § 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора                  311

    Остаточный член формулы Тейлора в интегральной
форме имеет вид
           1 x
            Z
rn (x) =        (x − t)n f (n+1) (t) dt =
          n! 0
                 α(α − 1) . . .(α − n) x
                                         Z
              =                              (x − t)n (1 + t)α−n−1 dt.
                           n!              0
Отсюда
                                                 α−n−1 |x − t| dt
                              Rx         n
 |rn+1 (x)|    |α − n − 1| 0 |x − t| (1 + t)              1+t
            =                     Rx                                .
   |rn (x)|       n+1                         n
                                    0 |x − t| (1 + t)
                                                      α−n−1  dt
    Заметим, что
                                                     |t|
             |x − t|    |x| − |t|       1 − |x|
                     6            = |x|         6 |x|.
              1+t        1 − |t|        1 − |t|
Следовательно, при фиксированном x и достаточно малом
ε>0
       |rn+1 (x)|    |n + 1 − α|
                  6               |x| 6 (1 + ε)|x| = q < 1
        |rn (x)|         n+1
при ∀ n > nε .
   Это означает, что |rn (x)| → 0 (n → ∞) не медленнее,
чем член убывающей геометрической прогрессии. Таким
образом, (13) установлено.
   Отметим важные частные случаи (α = −1) формулы
(13):
                 ∞                   ∞
        1       X
                     k       1      X
             =      x ,           =     (−1)k xk (|x| < 1).
      1−x                 1+x
                  k=0                        k=0
    Пример 6.
                                ∞
            ex + r−x X x2k
   ch x =           =       ,
                2     (2k)!
                                k=0
                                 ∞                                  (14)
            ex   −    r−x       X       x2k+1
   sh x =                   =                   ,   x ∈ (−∞, +∞).
                  2                   (2k + 1)!
                                k=0

Страницы