Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 313 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17.4. Функции e
z
, sin z, cos z комплексного переменного 313
Равенствами (1), (2), (3) функции e
z
, sin z, cos z опре-
делены на всей комплексной плоскости C, поскольку ряды
сходятся, причем абсолютно для ∀z ∈ C. В этом проще
всего можно убедиться с помощью признака Даламбера.
Следовательно, радиус сходимости R = +∞ для каждого
из рядов (1), (2), (3) (это вытекает также из сходимости
на (−∞, +∞) рядов (1), (2), (3) при z = x + i0, см. фор-
мулы (17.3.9), (17.3.10), (17.3.11)).
Функции e
z
, s in z, cos z при z = x совпадают соответ-
ственно с e
x
, sin x, cos x: R → R .
Установим некоторые свойства введенных функций.
Покажем, что
e
z
1
e
z
2
= e
z
1
+z
2
∀z
1
, z
2
∈ C. (4)
Поскольку абсолютно сходящиеся ряды можно перемно-
жать почленно (теорема 15.3.3), а сумма полученного в ре-
зультате перемножения абсолютно сходящегося ряда не за-
висит от перестановки его членов (теорема 15.3.2), полу-
чаем, что
e
z
1
e
z
2
=
∞
X
n=0
n
X
k=0
z
n−k
1
(n − k)!
z
k
2
k!
=
=
∞
X
n=0
1
n!
n
X
k=0
n!
(n − k)!k!
z
n−k
1
z
k
2
=
∞
X
n=0
(z
1
+ z
2
)
n
n!
= e
z
1
+z
2
.
Из сравнения сумм рядов очевидно, что
e
iz
= cos z + i sin z, z ∈ C, (5)
откуда
cos z =
e
iz
+ e
−iz
2
, sin z =
e
iz
− e
−iz
2
, z ∈ C. (6)
Формулы (5), (6) называются формулами Эйлера.
Из (4), (5) при z = 0 + iy видно, что функции sin z,
cos z не являются ограниченными функциями в комплекс-
ной плоскости.
  § 17.4. Функции ez , sin z, cos z комплексного переменного         313

   Равенствами (1), (2), (3) функции ez , sin z, cos z опре-
делены на всей комплексной плоскости C, поскольку ряды
сходятся, причем абсолютно для ∀ z ∈ C. В этом проще
всего можно убедиться с помощью признака Даламбера.
Следовательно, радиус сходимости R = +∞ для каждого
из рядов (1), (2), (3) (это вытекает также из сходимости
на (−∞, +∞) рядов (1), (2), (3) при z = x + i0, см. фор-
мулы (17.3.9), (17.3.10), (17.3.11)).
   Функции ez , sin z, cos z при z = x совпадают соответ-
ственно с ex , sin x, cos x: R → R.
   Установим некоторые свойства введенных функций.
Покажем, что
                     ez1 ez2 = ez1 +z2     ∀ z1 , z2 ∈ C.            (4)
Поскольку абсолютно сходящиеся ряды можно перемно-
жать почленно (теорема 15.3.3), а сумма полученного в ре-
зультате перемножения абсолютно сходящегося ряда не за-
висит от перестановки его членов (теорема 15.3.2), полу-
чаем, что
          ∞ X
            n
          X     z1n−k z2k
ez1 ez2 =                 =
              (n − k)! k!
         n=0 k=0
        ∞      n                                  ∞
                                                X (z1 + z2 )n
        X X   1              n!
    =                               z1n−k z2k =               = ez1 +z2 .
              n!         (n − k)!k!                   n!
        n=0        k=0                            n=0
Из сравнения сумм рядов очевидно, что
                         eiz = cos z + i sin z,   z ∈ C,             (5)
откуда
              eiz + e−iz           eiz − e−iz
        cos z =          , sin z =            , z ∈ C. (6)
                   2                    2
    Формулы (5), (6) называются формулами Эйлера.
    Из (4), (5) при z = 0 + iy видно, что функции sin z,
cos z не являются ограниченными функциями в комплекс-
ной плоскости.

Страницы