Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 312 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

312 Глава 17. Степенные ряды
Эти два разложения получены не вычислением коэффици-
ентов ряда Тейлора, а сложением двух сходящихся степен-
ных рядов. Ряды в правых частях равенств являются ря-
дами Тейлора соответственно для ch x и sh x в силу тео-
ремы 17.2.1 (единственности).
Подобные приемы получения разложения функций в
степе нные ряды, основанные на использовании известных
разложений (9)–17.3.14, широко распространены. Среди
этих приемов отметим, в частности, почленное интегриро-
вание и дифференцирование ряда. Так, например, из фор-
мулы суммы геометрической прогрессии
1
1 + x
= 1 − x + x
2
− x
3
+ . . . , q|x| < 1,
с помощью почленного интегрирования получаем при |x| <
< 1 формулу (12):
ln(1 + x) =
Z
x
0
dt
1 + t
= x −
x
2
2
+
x
3
3
− . . .
Разложение в степенной ряд функции arcsin x можно
получить почленным интегрированием разложения
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
= (1 − x
2
)
−
1
2
, даваемого формулой
(13) с заменой x на −x
2
.
§ 17.4. Функции e
z
, sin z, cos z комплексного
переменного
Определение 1. Для z ∈ C положим
e
z
B
∞
X
k=0
z
k
k!
= 1 +
z
1
+
z
2
2!
+
z
3
3!
+ . . . (1)
sin z B
∞
X
k=0
(−1)
k
(2k + 1)!
z
2k+1
= z −
z
3
3!
+
z
5
5!
− . . . (2)
cos z B
∞
X
k=0
(−1)
k
(2k)!
z
2k
= 1 −
z
2
2!
+
z
4
4!
− . . . (3)
312                      Глава 17. Степенные ряды

Эти два разложения получены не вычислением коэффици-
ентов ряда Тейлора, а сложением двух сходящихся степен-
ных рядов. Ряды в правых частях равенств являются ря-
дами Тейлора соответственно для ch x и sh x в силу тео-
ремы 17.2.1 (единственности).
    Подобные приемы получения разложения функций в
степенные ряды, основанные на использовании известных
разложений (9)–17.3.14, широко распространены. Среди
этих приемов отметим, в частности, почленное интегриро-
вание и дифференцирование ряда. Так, например, из фор-
мулы суммы геометрической прогрессии
             1
                 = 1 − x + x2 − x3 + . . . , q|x| < 1,
           1+x
с помощью почленного интегрирования получаем при |x| <
< 1 формулу (12):
                       Z x
                            dt         x2 x3
           ln(1 + x) =          =x−         +   − ...
                        0 1+t           2     3
    Разложение в степенной ряд функции arcsin x можно
получить почленным интегрированием разложения
                                     1
(arcsin x)0 = √ 1 2 = (1 − x2 )− 2 , даваемого формулой
                    1−x
(13) с заменой x на −x2 .

  § 17.4. Функции ez , sin z, cos z комплексного
                 переменного
      Определение 1. Для z ∈ C положим
               ∞
               X zk       z z2 z3
          ez B      =1+ +        +    + ...                     (1)
                 k!       1   2!   3!
                   k=0
                    ∞
                   X       (−1)k                z3 z5
         sin z B                   z 2k+1 = z −    +    − ...   (2)
                         (2k + 1)!              3!   5!
                   k=0
                    ∞
                   X     (−1)k 2k     z2 z4
        cos z B                 z =1−    +    − ...             (3)
                          (2k)!       2!   4!
                   k=0

Страницы