ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
312 Глава 17. Степенные ряды
Эти два разложения получены не вычислением коэффици-
ентов ряда Тейлора, а сложением двух сходящихся степен-
ных рядов. Ряды в правых частях равенств являются ря-
дами Тейлора соответственно для ch x и sh x в силу тео-
ремы 17.2.1 (единственности).
Подобные приемы получения разложения функций в
степе нные ряды, основанные на использовании известных
разложений (9)–17.3.14, широко распространены. Среди
этих приемов отметим, в частности, почленное интегриро-
вание и дифференцирование ряда. Так, например, из фор-
мулы суммы геометрической прогрессии
1
1 + x
= 1 − x + x
2
− x
3
+ . . . , q|x| < 1,
с помощью почленного интегрирования получаем при |x| <
< 1 формулу (12):
ln(1 + x) =
Z
x
0
dt
1 + t
= x −
x
2
2
+
x
3
3
− . . .
Разложение в степенной ряд функции arcsin x можно
получить почленным интегрированием разложения
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
= (1 − x
2
)
−
1
2
, даваемого формулой
(13) с заменой x на −x
2
.
§ 17.4. Функции e
z
, sin z, cos z комплексного
переменного
Определение 1. Для z ∈ C положим
e
z
B
∞
X
k=0
z
k
k!
= 1 +
z
1
+
z
2
2!
+
z
3
3!
+ . . . (1)
sin z B
∞
X
k=0
(−1)
k
(2k + 1)!
z
2k+1
= z −
z
3
3!
+
z
5
5!
− . . . (2)
cos z B
∞
X
k=0
(−1)
k
(2k)!
z
2k
= 1 −
z
2
2!
+
z
4
4!
− . . . (3)
312 Глава 17. Степенные ряды Эти два разложения получены не вычислением коэффици- ентов ряда Тейлора, а сложением двух сходящихся степен- ных рядов. Ряды в правых частях равенств являются ря- дами Тейлора соответственно для ch x и sh x в силу тео- ремы 17.2.1 (единственности). Подобные приемы получения разложения функций в степенные ряды, основанные на использовании известных разложений (9)–17.3.14, широко распространены. Среди этих приемов отметим, в частности, почленное интегриро- вание и дифференцирование ряда. Так, например, из фор- мулы суммы геометрической прогрессии 1 = 1 − x + x2 − x3 + . . . , q|x| < 1, 1+x с помощью почленного интегрирования получаем при |x| < < 1 формулу (12): Z x dt x2 x3 ln(1 + x) = =x− + − ... 0 1+t 2 3 Разложение в степенной ряд функции arcsin x можно получить почленным интегрированием разложения 1 (arcsin x)0 = √ 1 2 = (1 − x2 )− 2 , даваемого формулой 1−x (13) с заменой x на −x2 . § 17.4. Функции ez , sin z, cos z комплексного переменного Определение 1. Для z ∈ C положим ∞ X zk z z2 z3 ez B =1+ + + + ... (1) k! 1 2! 3! k=0 ∞ X (−1)k z3 z5 sin z B z 2k+1 = z − + − ... (2) (2k + 1)! 3! 5! k=0 ∞ X (−1)k 2k z2 z4 cos z B z =1− + − ... (3) (2k)! 2! 4! k=0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 310
- 311
- 312
- 313
- 314
- …
- следующая ›
- последняя »