Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 310 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

310 Глава 17. Степенные ряды
Пусть теперь −1 < x < 0. Остаточный член в форме
Коши имеет вид
r
n
(x) = (−1)
n
(1 − θ)
n
(1 + θx)
n+1
x
n+1
, 0 < θ < 1.
Заметив, что
0 <
1 − θ
1 + θx
=
1 − θ
1 + θ|x|
< 1,
имеем
|r
n
(x)| 6
1 − θ
1 + θx
n
1
1 + θx
|x|
n+1
6
|x|
n+1
1 − |x|
→ 0 (n → ∞).
Этим установлено (12). В точке x = −1 функция ln(1 +
+ x) не определена, а ряд (12) расходится. Из сходимости
ряда (12) при ∀x ∈ (−1, +1] и расходимости в точке x = −1
следует, что его радиус сходимости R = 1.
Из равномерной сходимости ряда (12) на [0, 1] и его рав-
номерной сходимости на любом отрезке [−1+δ, 1−δ], δ > 0,
по теореме 17.1.2 получаем, что ряд (12) сходится равно-
мерно на любом отрезке [a, 1] ⊂ (−1, 1].
Пример 5. f(x) = (1 + x)
α
при α ∈ R \ N
0
(так что f
не является многочленом).
Производная f
(n)
(x) = α(α −1) . . .(α −n + 1)(1 + x)
α−n
,
n ∈ N. Покажем, что
(1 + x)
α
= 1 +
∞
X
n=1
α(α−1) . . .(α−n+1)
n!
x
n
при |x| < 1.
(13)
Заметим, что радиус сходимости ряда (13) R = 1, что
легко установить, применяя признак Даламбера для выяс-
нения абсолютной сходимости этого ряда. Так что равен-
ство (13) окажется справедливым на всем интервале сходи-
мости ряда. При x = 0 (13) очевидно. Пусть 0 < |x| < 1.
310                       Глава 17. Степенные ряды

  Пусть теперь −1 < x < 0. Остаточный член в форме
Коши имеет вид
                                 (1 − θ)n
         rn (x) = (−1)n                    xn+1 ,        0 < θ < 1.
                               (1 + θx)n+1

      Заметив, что
                                1−θ      1−θ
                      0<              =          < 1,
                               1 + θx   1 + θ|x|
имеем
                          n
                                               |x|n+1
             
                  1−θ             1
|rn (x)| 6                            |x|n+1 6         →0       (n → ∞).
                 1 + θx        1 + θx          1 − |x|
Этим установлено (12). В точке x = −1 функция ln(1 +
+ x) не определена, а ряд (12) расходится. Из сходимости
ряда (12) при ∀ x ∈ (−1, +1] и расходимости в точке x = −1
следует, что его радиус сходимости R = 1.
   Из равномерной сходимости ряда (12) на [0, 1] и его рав-
номерной сходимости на любом отрезке [−1+δ, 1−δ], δ > 0,
по теореме 17.1.2 получаем, что ряд (12) сходится равно-
мерно на любом отрезке [a, 1] ⊂ (−1, 1].
   Пример 5. f (x) = (1 + x)α при α ∈ R \ N0 (так что f
не является многочленом).
   Производная f (n) (x) = α(α − 1) . . .(α − n + 1)(1 + x)α−n ,
n ∈ N. Покажем, что
                     ∞
          α
                     X α(α−1) . . .(α−n+1)
 (1 + x) = 1 +                                      xn    при |x| < 1.
                                       n!
                     n=1
                                                     (13)
Заметим, что радиус сходимости ряда (13) R = 1, что
легко установить, применяя признак Даламбера для выяс-
нения абсолютной сходимости этого ряда. Так что равен-
ство (13) окажется справедливым на всем интервале сходи-
мости ряда. При x = 0 (13) очевидно. Пусть 0 < |x| < 1.

Страницы