Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 314 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

314 Глава 17. Степенные ряды
Из (6) и (4) легко получаются следующие обобщения
известных тригонометрических формул:
sin(z
1
+ z
2
) = sin z
1
cos z
2
+ cos z
1
sin z
2
, z
1
, z
2
∈ C,
cos(z
1
+ z
2
) = cos z
1
cos z
2
− sin z
1
sin z
2
, z
1
, z
2
∈ C.
Из (4), (5) следует, что при z = x + iy
e
z
= e
x
e
iy
= e
x
(cos y + i sin y). (7)
0
ϕ
z
x
iy
Рис. 17.1
В частности, при x = 0
e
iy
= cos y + i sin y. (8)
Отсюда, в частности, вид-
но, что функция e
z
— перио-
дическая с периодом 2πi.
Всякое комплексное число
z = x + iy можно представить
в виде
z = r(cos ϕ + i sin ϕ), (9)
где
r =
p
x
2
+ y
2
= |z|
— модуль z, а под ϕ при z 6= 0 можно понимать отсчиты-
ваемый против часовой стрелки угол между положитель-
ным направлением оси Ox и радиусом-вектором точки z
комплексной плоскости. При этом для ϕ ∈ [0, 2π) вводится
обозначение ϕ B arg z. В силу 2π-периодичности функций
cos ϕ, sin ϕ в равенстве (9) в качестве ϕ можно взять ϕ =
= Arg z, где
Arg z = arg z + 2kπ
при произвольном фиксированном k = 0, ±1, ±2, . . .
Формула (9) верна и при z = 0 при произвольном зна-
чении ϕ.
Формулу (9) называют тригонометрической формой
комплексного числа z. C помощью (8) из нее можно по-
лучить показательную форму комплексного числа z:
z = re
iϕ
, r = |z|, ϕ = Arg z. (10)
314                      Глава 17. Степенные ряды

   Из (6) и (4) легко получаются следующие обобщения
известных тригонометрических формул:
       sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 ,     z1 , z2 ∈ C,
      cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 ,      z1 , z2 ∈ C.
      Из (4), (5) следует, что при z = x + iy
                    ez = ex eiy = ex (cos y + i sin y).                   (7)
                                     В частности, при x = 0
                                             eiy = cos y + i sin y.       (8)
                         z                Отсюда, в частности, вид-
  iy                                  но, что функция ez — перио-
                                      дическая с периодом 2πi.
                ϕ                         Всякое комплексное число
      0                x              z = x + iy можно представить
              Рис. 17.1               в виде
                                            z = r(cos ϕ + i sin ϕ),       (9)
где                      p
                     r = x2 + y 2 = |z|
— модуль z, а под ϕ при z 6= 0 можно понимать отсчиты-
ваемый против часовой стрелки угол между положитель-
ным направлением оси Ox и радиусом-вектором точки z
комплексной плоскости. При этом для ϕ ∈ [0, 2π) вводится
обозначение ϕ B arg z. В силу 2π-периодичности функций
cos ϕ, sin ϕ в равенстве (9) в качестве ϕ можно взять ϕ =
= Arg z, где
                     Arg z = arg z + 2kπ
при произвольном фиксированном k = 0, ±1, ±2, . . .
    Формула (9) верна и при z = 0 при произвольном зна-
чении ϕ.
    Формулу (9) называют тригонометрической формой
комплексного числа z. C помощью (8) из нее можно по-
лучить показательную форму комплексного числа z:
                    z = reiϕ ,   r = |z|,     ϕ = Arg z.              (10)

Страницы