Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 315 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17.4. Функции e
z
, sin z, cos z комплексного переменного 315
Показательная и тригонометрическая формы комплекс-
ного числа удобны для нахождения произведения и част-
ного двух комплексных чисел, возведения в степень ком-
пле ксного числа и извлечения корня.
Пусть z
j
= r
j
e
iϕ
j
= r
j
(cos ϕ
j
+ i sin ϕ
j
), j = 1, 2. Тогда
из (4), (8) следует, что
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i(ϕ
1
−ϕ
2
)
=
r
1
r
2
(cos(ϕ
1
−ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
−ϕ
2
)), z
2
6= 0.
При z = re
iϕ
= r(cos ϕ + i sin ϕ), n ∈ N
z
n
= r
n
e
inϕ
= r
n
(cos nϕ + i sin nϕ). (11)
Получим, наконец, формулу для извлечения корня степени
n > 2 из комплексного числа z. Под
n
√
z понимают такое
комплексное число w, что w
n
= z. Если
z = re
iϕ
= r(cos ϕ + i sin ϕ),
w = ρe
iψ
= ρ(cos ψ + i sin ψ),
то, согласно (11), r = ρ
n
, ϕ = nψ. Поэтому
n
√
z =
n
√
re
i
ϕ
n
=
n
√
r
cos
ϕ
n
+ i sin
ϕ
n
.
Однако, если ϕ = Arg z = arg z + 2kπ = ϕ
0
+ 2kπ, то
cos
ϕ
n
= cos
ϕ
0
n
+
2kπ
n
, sin
ϕ
n
= sin
ϕ
0
n
+
2kπ
n
имеют при различных k = 0, 1, . . . , n −1 различные значе-
ния. Поэтому для z 6= 0 существует n различных значений
n
√
z. В комплексной плоскости C все эти значения распола-
гаются на окружности с центром в точке 0 радиуса
n
p
|z|,
деля эту окружность на равные дуги.
  § 17.4. Функции ez , sin z, cos z комплексного переменного   315

    Показательная и тригонометрическая формы комплекс-
ного числа удобны для нахождения произведения и част-
ного двух комплексных чисел, возведения в степень ком-
плексного числа и извлечения корня.
    Пусть zj = rj eiϕj = rj (cos ϕj + i sin ϕj ), j = 1, 2. Тогда
из (4), (8) следует, что
z1    r1 i(ϕ1 −ϕ2 ) r1
   =     e         =    (cos(ϕ1 −ϕ2 )+i sin(ϕ1 −ϕ2 )), z2 6= 0.
z2    r2             r2
    При z = reiϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ), n ∈ N
             z n = rn einϕ = rn (cos nϕ + i sin nϕ).           (11)
Получим, наконец, формулу для извлечения корня степени
                                    √
n > 2 из комплексного числа z. Под n z понимают такое
комплексное число w, что wn = z. Если
                 z = reiϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ),
                 w = ρeiψ = ρ(cos ψ + i sin ψ),
то, согласно (11), r = ρn , ϕ = nψ. Поэтому
            √      √ ϕ       √     ϕ         ϕ
            n
              z = n rei n = n r cos + i sin      .
                                    n         n
Однако, если ϕ = Arg z = arg z + 2kπ = ϕ0 + 2kπ, то
                                                    
        ϕ         ϕ0 2kπ            ϕ          ϕ0 2kπ
     cos = cos       +        , sin = sin        +
        n         n      n          n          n    n
имеют при различных k = 0, 1, . . . , n − 1 различные значе-
ния. Поэтому для z 6= 0 существует n различных значений
√n
   z. В комплексной плоскости C все эти значения распола-
                                                       p
гаются на окружности с центром в точке 0 радиуса n |z|,
деля эту окружность на равные дуги.

Страницы