ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
306 Глава 17. Степенные ряды
данной точке x достаточно показать, что r
n
(x) → 0 при
n → ∞.
Нам понадобятся для этого различные формы остаточ-
ного члена формулы Тейлора.
Теорема 1. Пусть производная f
(n+1)
функции f не-
прерывна на отрезке с концами в x
0
и x. Тогда остаточ-
ный член формулы Тейлора (3) можно представить в инте-
гральной форме:
r
n
(x) =
1
n!
Z
x
x
0
(x − t)
n
f
(n+1)
(t) dt, (4)
в форме Лагранжа:
r
n
(x) =
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x − x
0
))
(n + 1)!
(x −x
0
)
n+1
, 0 < θ < 1, (5)
и в форме Коши:
r
n
(x) =
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x − x
0
))
n!
(1 − θ)
n
(x − x
0
)
n+1
,
0 < θ < 1.
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности,
x > x
0
. Установим сначала (4), т. е. равенство
f(x) =
n
X
k=0
f
(n+1)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
+
1
n!
Z
x
x
0
(x − t)
n
f
(n+1)
(t) dt.
(7)
Применим метод математической индукции. При n = 0
формула (7) верна, т. к. совпадает с формулой Ньютона–
Лейбница:
f(x) − f(x
0
) =
Z
x
x
0
f
0
(t) dt.
306 Глава 17. Степенные ряды данной точке x достаточно показать, что rn (x) → 0 при n → ∞. Нам понадобятся для этого различные формы остаточ- ного члена формулы Тейлора. Теорема 1. Пусть производная f (n+1) функции f не- прерывна на отрезке с концами в x0 и x. Тогда остаточ- ный член формулы Тейлора (3) можно представить в инте- гральной форме: 1 x Z rn (x) = (x − t)n f (n+1) (t) dt, (4) n! x0 в форме Лагранжа: f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) rn (x) = (x − x0 )n+1 , 0 < θ < 1, (5) (n + 1)! и в форме Коши: f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) rn (x) = (1 − θ)n (x − x0 )n+1 , n! (6) 0 < θ < 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности, x > x0 . Установим сначала (4), т. е. равенство n x f (n+1) (x0 ) Z X 1 f (x) = (x − x0 )k + (x − t)n f (n+1) (t) dt. k! n! x0 k=0 (7) Применим метод математической индукции. При n = 0 формула (7) верна, т. к. совпадает с формулой Ньютона– Лейбница: Z x f (x) − f (x0 ) = f 0 (t) dt. x0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 304
- 305
- 306
- 307
- 308
- …
- следующая ›
- последняя »