Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 306 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

306 Глава 17. Степенные ряды
данной точке x достаточно показать, что r
n
(x) → 0 при
n → ∞.
Нам понадобятся для этого различные формы остаточ-
ного члена формулы Тейлора.
Теорема 1. Пусть производная f
(n+1)
функции f не-
прерывна на отрезке с концами в x
0
и x. Тогда остаточ-
ный член формулы Тейлора (3) можно представить в инте-
гральной форме:
r
n
(x) =
1
n!
Z
x
x
0
(x − t)
n
f
(n+1)
(t) dt, (4)
в форме Лагранжа:
r
n
(x) =
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x − x
0
))
(n + 1)!
(x −x
0
)
n+1
, 0 < θ < 1, (5)
и в форме Коши:
r
n
(x) =
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x − x
0
))
n!
(1 − θ)
n
(x − x
0
)
n+1
,
0 < θ < 1.
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности,
x > x
0
. Установим сначала (4), т. е. равенство
f(x) =
n
X
k=0
f
(n+1)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
+
1
n!
Z
x
x
0
(x − t)
n
f
(n+1)
(t) dt.
(7)
Применим метод математической индукции. При n = 0
формула (7) верна, т. к. совпадает с формулой Ньютона–
Лейбница:
f(x) − f(x
0
) =
Z
x
x
0
f
0
(t) dt.
306                       Глава 17. Степенные ряды

данной точке x достаточно показать, что rn (x) → 0 при
n → ∞.
   Нам понадобятся для этого различные формы остаточ-
ного члена формулы Тейлора.

   Теорема 1. Пусть производная f (n+1) функции f не-
прерывна на отрезке с концами в x0 и x. Тогда остаточ-
ный член формулы Тейлора (3) можно представить в инте-
гральной форме:
                     1 x
                       Z
            rn (x) =       (x − t)n f (n+1) (t) dt, (4)
                     n! x0

в форме Лагранжа:

            f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
 rn (x) =                             (x − x0 )n+1 ,            0 < θ < 1, (5)
                     (n + 1)!
и в форме Коши:

                 f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
      rn (x) =                             (1 − θ)n (x − x0 )n+1 ,
                             n!                                               (6)
                                0 < θ < 1.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности,
x > x0 . Установим сначала (4), т. е. равенство
          n                                          x
            f (n+1) (x0 )
                                                 Z
          X                                 1
f (x) =                      (x − x0 )k +                (x − t)n f (n+1) (t) dt.
                     k!                     n!     x0
          k=0
                                                   (7)
Применим метод математической индукции. При n = 0
формула (7) верна, т. к. совпадает с формулой Ньютона–
Лейбница:                     Z             x
                      f (x) − f (x0 ) =         f 0 (t) dt.
                                          x0

Страницы