Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 304 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

304 Глава 17. Степенные ряды
Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение 3
◦
содержится в
лемме 1. Утверждения 1
◦
и 2
◦
в силу утверждения 3
◦
и
равномерной сходимости ряда (6) на любом отрезке из ин-
тервала сходимости (следствие из теоремы 17.1.2) следуют
из соответствующих свойств общих функциональных ря-
дов.
§ 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора
Если функция f: U(x
0
) → R определена в некоторой
окрестности точки x
0
∈ R и имеет в точке x
0
производные
всех порядков (т. е. является бесконечно дифференцируе-
мой в точке x
0
), то степенной ряд
∞
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
(1)
называется рядом Тейлора функции f в точке x
0
.
Будем изучать вопрос о представимости функции f:
U(x
0
) → R в некоторой окрестности точки x
0
степенным
рядом
∞
P
k=0
a
k
(x − x
0
)
k
. Из теоремы 17.2.1 следует, что этот
вопрос равносилен вопросу о представимости функции f в
некоторой окрестности точки x
0
ее рядом Тейлора (1).
Бесконечная дифференцируемость функции f в точке x
0
необходима для того, чтобы выписать ряд Тейлора (1), но
не является достаточным условием ее представимости этим
рядом ни в какой окрестности точки x
0
. Это можно под-
твердить примером функции
ϕ(x) =
(
e
−
1
x
2
при x 6= 0,
0 при x = 0.
При x 6= 0 функция ϕ имеет производные всех поряд-
ков. Нетрудно убедиться, что каждая из них имеет вид
304                Глава 17. Степенные ряды

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение 3◦ содержится в
лемме 1. Утверждения 1◦ и 2◦ в силу утверждения 3◦ и
равномерной сходимости ряда (6) на любом отрезке из ин-
тервала сходимости (следствие из теоремы 17.1.2) следуют
из соответствующих свойств общих функциональных ря-
дов.


      § 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора
   Если функция f : U (x0 ) → R определена в некоторой
окрестности точки x0 ∈ R и имеет в точке x0 производные
всех порядков (т. е. является бесконечно дифференцируе-
мой в точке x0 ), то степенной ряд
                   ∞
                   X f (k) (x0 )
                                   (x − x0 )k             (1)
                          k!
                   k=0

называется рядом Тейлора функции f в точке x0 .
    Будем изучать вопрос о представимости функции f :
U (x0 ) → R в некоторой окрестности точки x0 степенным
        ∞
          ak (x − x0 )k . Из теоремы 17.2.1 следует, что этот
        P
рядом
        k=0
вопрос равносилен вопросу о представимости функции f в
некоторой окрестности точки x0 ее рядом Тейлора (1).
    Бесконечная дифференцируемость функции f в точке x0
необходима для того, чтобы выписать ряд Тейлора (1), но
не является достаточным условием ее представимости этим
рядом ни в какой окрестности точки x0 . Это можно под-
твердить примером функции
                       ( 1
                        e− x2 при x 6= 0,
                ϕ(x) =
                        0     при x = 0.

   При x 6= 0 функция ϕ имеет производные всех поряд-
ков. Нетрудно убедиться, что каждая из них имеет вид

Страницы