Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 302 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

302 Глава 17. Степенные ряды
и, следовательно, имеет тот же радиус сходимости R
0
. В
силу (17.1.2)
R
0
=
1
lim
k→∞
k
p
|ka
k
|
=
1
lim
k→∞
k
√
k · lim
k→∞
k
p
|a
k
|
=
1
lim
k→∞
k
p
|a
k
|
= R.
Теорема 1 (единственности для A(x
0
)). Пусть f ∈
∈ A(x
0
). Тогда ее представление (2) единственно. Более
того,
a
k
=
f
(k)
(x
0
)
k!
∀k ∈ N. (3)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 1 и теоремы о по-
членном дифференцировании функционального ряда произ-
водную f
(k)
(x
0
) можно найти с помощью почленного диф-
ференцирования ряда (2), что дает равенство
f
(k)
(x
0
) = k!a
k
.
Ряд (2) с коэффициентами из (3) называется рядом Тей-
лора функции f. Теорема 1 устанавливает, что если функ-
ция f ∈ A(x
0
) представима степенным рядом (2) (разло-
жена в степенной ряд), то этот ряд с необходимостью явля-
ется ее рядом Тейлора.
З а м е ч а н и е 1. Возможность почленного диф-
ференцирования функционального ряда была установлена
для рядов, члены которых являются вещественными функ-
циями. При доказательстве теоремы 1 перед почленным
дифференцированием ряд
∞
P
k=0
a
k
(x − x
0
)
k
с комплексными
коэффициентами a
k
= b
k
+ ic
k
(где b
k
, c
k
— вещественны)
следует представить в виде суммы рядов:
∞
X
k=0
a
k
(x − x
0
)
k
=
∞
X
k=0
b
k
(x − x
0
)
k
+ i
∞
X
k=0
c
k
(x − x
0
)
k
. (4)
Из определения 17.1.2 следует, очевидно, что радиус схо-
димости каждого из рядов в правой части (4) не меньше
радиуса сходимости ряда в левой части (4).
302                Глава 17. Степенные ряды

и, следовательно, имеет тот же радиус сходимости R0 . В
силу (17.1.2)
           1                1                1
R0 =      pk
                  =     √
                        k
                                p
                                k
                                      =      p       = R.
       lim |kak |   lim k · lim |ak |    lim k |ak |
       k→∞           k→∞         k→∞                k→∞

   Теорема 1 (единственности для A(x0 )). Пусть f ∈
∈ A(x0 ). Тогда ее представление (2) единственно. Более
того,
                          f (k) (x0 )
                    ak =              ∀ k ∈ N.             (3)
                              k!
   Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 1 и теоремы о по-
членном дифференцировании функционального ряда произ-
водную f (k) (x0 ) можно найти с помощью почленного диф-
ференцирования ряда (2), что дает равенство
                       f (k) (x0 ) = k!ak .
   Ряд (2) с коэффициентами из (3) называется рядом Тей-
лора функции f . Теорема 1 устанавливает, что если функ-
ция f ∈ A(x0 ) представима степенным рядом (2) (разло-
жена в степенной ряд), то этот ряд с необходимостью явля-
ется ее рядом Тейлора.
   З а м е ч а н и е 1. Возможность почленного диф-
ференцирования функционального ряда была установлена
для рядов, члены которых являются вещественными функ-
циями. При доказательстве теоремы 1 перед почленным
                           ∞
                              ak (x − x0 )k с комплексными
                           P
дифференцированием ряд
                             k=0
коэффициентами ak = bk + ick (где bk , ck — вещественны)
следует представить в виде суммы рядов:
  ∞
  X                  ∞
                     X                   ∞
                                         X
     ak (x − x0 )k =   bk (x − x0 )k + i   ck (x − x0 )k . (4)
 k=0                k=0                       k=0
Из определения 17.1.2 следует, очевидно, что радиус схо-
димости каждого из рядов в правой части (4) не меньше
радиуса сходимости ряда в левой части (4).

Страницы