Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 299 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§17.1. Свойства степенных рядов 299
Примеры:
1. Ряд
∞
P
1
z
n
n
с радиусом сходимости R = 1 расходится
в точке z = 1 и сходится во всех остальных точках
окружности |z| = 1. Его сходимость вытекает из схо-
димости рядов (15.4.6), (15.4.7), а в точке z = −1 уста-
навливается с помощью признака Лейбница (15.4.1).
2. Ряд
∞
P
1
z
n
n
2
, R = 1, сходится в каждой точке границы
круга сходимости.
3. Ряд
∞
P
1
z
n
, R = 1, расходится в каждой точке границы
круга сходимости.
Теорема 2 (о равномерной сходимости степен-
ного ряда). Пусть R — радиус сходимости степенного
ряда (4), 0 < r < R. Тогда в замкнутом круге {z: |z| 6 r}
ряд (4) сходится равномерно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. При |z| 6 r |a
n
z
n
| 6 |a
n
|r
n
. Но
числовой ряд
∞
P
0
|a
n
|r
n
сходится в силу теоремы 1. Следо-
вательно, по признаку Вейерштрасса ряд (4) сходится рав-
номерно на {z: |z| 6 r}.
З а м е ч а н и е 3. Степенной ряд на круге схо-
димости может сходиться равномерно (пример 2) или не
сходиться равномерно (пример 1).
Теорема 3. Сумма степенного ряда непрерывна в
круге сходимости.
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из теоремы о непре-
рывности суммы равномерно сходящегося ряда с непрерыв-
ными членами, примененной к ряду (4) на множестве {z:
|z| 6 r}, где 0 < r < R, причем r может быть взято сколь
угодно близким к R.
Теорема 4 (Абеля). Пусть z
1
, z
2
∈ C, |z
1
| < |z
2
|.
Тогда
                § 17.1. Свойства степенных рядов                299

   Примеры:
         ∞ n
  1. Ряд
         P z с радиусом сходимости R = 1 расходится
           n
            1
     в точке z = 1 и сходится во всех остальных точках
     окружности |z| = 1. Его сходимость вытекает из схо-
     димости рядов (15.4.6), (15.4.7), а в точке z = −1 уста-
     навливается с помощью признака Лейбница (15.4.1).
          ∞ n
  2. Ряд
         P  z , R = 1, сходится в каждой точке границы
             2
           1    n
     круга сходимости.
         ∞
            z n , R = 1, расходится в каждой точке границы
         P
  3. Ряд
           1
     круга сходимости.
   Теорема 2 (о равномерной сходимости степен-
ного ряда). Пусть R — радиус сходимости степенного
ряда (4), 0 < r < R. Тогда в замкнутом круге {z: |z| 6 r}
ряд (4) сходится равномерно.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. При |z| 6 r |an z n | 6 |an |rn . Но
                ∞
                   |an |rn сходится в силу теоремы 1. Следо-
               P
числовой ряд
                    0
вательно, по признаку Вейерштрасса ряд (4) сходится рав-
номерно на {z: |z| 6 r}.
   З а м е ч а н и е 3. Степенной ряд на круге схо-
димости может сходиться равномерно (пример 2) или не
сходиться равномерно (пример 1).
    Теорема 3. Сумма степенного ряда непрерывна в
круге сходимости.
    Д о к а з а т е л ь с т в о следует из теоремы о непре-
рывности суммы равномерно сходящегося ряда с непрерыв-
ными членами, примененной к ряду (4) на множестве {z:
|z| 6 r}, где 0 < r < R, причем r может быть взято сколь
угодно близким к R.
   Теорема 4 (Абеля). Пусть z1 , z2 ∈ C, |z1 | < |z2 |.
Тогда

Страницы