Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 288 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

288 Глава 16. Функциональные последовательности и ряды
Упражнение 1. Доказать, что если ряды
∞
P
k=1
u
k
(x),
∞
P
k=1
v
k
(x) равномерно сходятся на E, то при λ, µ ∈ R ряд
∞
P
k=1
(λu
k
(x) + µv
k
(x)) равномерно сходится на E. Обобщить
утверждение на случай, когда λ, µ — ограниченные на E
функции.
Упражнение 2. Вывести теорему 2 из теоремы 3.
Упражнение 3. Определение 2
0
эквивалентно опреде-
лению 2, но формулируется без привлечения понятия верх-
ней грани. Сформулировать того же характера эквива-
ленты для условия Коши в теореме 1, 3 и для определе-
ния 4
0
.
§ 16.2. Признаки равномерной сходимости рядов
Теорема 1 (признак сравнения). Пусть функции u
k
:
E → C, v
k
: E → [0, +∞), E ⊂ R
d
, причем
|u
k
(x)| 6 v
k
(x) ∀x ∈ E, ∀k ∈ N.
Пусть ряд
∞
P
k=1
v
k
сходится на E равномерно. Тогда ряд
∞
P
k=1
u
k
сходится на E абсолютно и равномерно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что при x ∈ E, n ∈ N,
p ∈ N,
n+p
X
k=n+1
u
k
(x)
6
n+p
X
k=n+1
|u
k
(x)| 6
n+p
X
k=n+1
v
k
(x).
Из равномерной сходимости ряда
P
v
k
следует в силу кри-
терия Коши (теорема 16.1.3), что для
∀ε > 0 ∃n(ε) : sup
x∈E
n+p
X
k=n+1
v
k
(x) < ε ∀n > n(ε), ∀p ∈ N.
288     Глава 16. Функциональные последовательности и ряды
                                                                  ∞
                                                                  P
      Упражнение 1. Доказать, что если ряды                             uk (x),
                                                                  k=1
∞
P
      vk (x) равномерно сходятся на E, то при λ, µ ∈ R ряд
k=1
P∞
      (λuk (x) + µvk (x)) равномерно сходится на E. Обобщить
k=1
утверждение на случай, когда λ, µ — ограниченные на E
функции.
   Упражнение 2. Вывести теорему 2 из теоремы 3.
   Упражнение 3. Определение 20 эквивалентно опреде-
лению 2, но формулируется без привлечения понятия верх-
ней грани. Сформулировать того же характера эквива-
ленты для условия Коши в теореме 1, 3 и для определе-
ния 40 .

§ 16.2. Признаки равномерной сходимости рядов
  Теорема 1 (признак сравнения). Пусть функции uk :
E → C, vk : E → [0, +∞), E ⊂ Rd , причем
          |uk (x)| 6 vk (x) ∀ x ∈ E, ∀ k ∈ N.
          ∞
          P
Пусть ряд     vk сходится на E равномерно. Тогда ряд
              k=1
∞
P
      uk сходится на E абсолютно и равномерно.
k=1
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что при x ∈ E, n ∈ N,
p ∈ N,
             n+p
             X                  n+p
                                X                    n+p
                                                     X
                    uk (x) 6           |uk (x)| 6           vk (x).
           k=n+1               k=n+1                k=n+1
                                P
Из равномерной сходимости ряда     vk следует в силу кри-
терия Коши (теорема 16.1.3), что для
                           n+p
                           X
∀ε > 0     ∃ n(ε) : sup           vk (x) < ε ∀ n > n(ε),              ∀ p ∈ N.
                      x∈E k=n+1

Страницы