Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 286 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

286 Глава 16. Функциональные последовательности и ряды
Переходя в последнем неравенстве к верхней грани по x ∈
∈ E, видим, что f
n
⇒
E
f по определению 2.
Рассмотрим функциональный ряд
∞
X
k=1
u
k
, u
k
: E → C, E ⊂ R
d
. (3)
Определение 3. Говорят, что ряд (3) сходится на
множестве E, если числовой ряд
∞
X
k=1
u
k
(x), x ∈ E, (4)
сходится при каждом фиксированном x ∈ E.
При этом говорят также, что ряд (3) сходится на E по-
точечно.
Таким образом, поточечная сходимость ряда (3) на E
совпадает с поточечной сходимостью на E последователь-
ности S
n
B
∞
P
k=1
u
k
его частичных сумм.
Определение 4. Говорят, что ряд (3) сходится на E
равномерно, если последовательность {S
n
} его частичных
сумм сходится на E равномерно.
Следующее определение эквивалентно, очевидно, опре-
делению 4
Определение 4
0
. Говорят, что ряд (3) сходится на E
равномерно, если он сходится на E и
sup
E
∞
X
k=n+1
u
k
→ 0 при n → ∞.
Пример 3. Доказать, что ряд
∞
P
k=1
(−1)
k+1
k + x
2
равномерно
сходится на множестве E = (−∞, +∞).
286    Глава 16. Функциональные последовательности и ряды

Переходя в последнем неравенстве к верхней грани по x ∈
∈ E, видим, что fn ⇒ f по определению 2.
                       E
      Рассмотрим функциональный ряд
              ∞
              X
                    uk ,     uk : E → C,        E ⊂ Rd .            (3)
              k=1

   Определение 3. Говорят, что ряд (3) сходится на
множестве E, если числовой ряд
                           ∞
                           X
                                 uk (x),   x ∈ E,                   (4)
                           k=1

сходится при каждом фиксированном x ∈ E.
   При этом говорят также, что ряд (3) сходится на E по-
точечно.
   Таким образом, поточечная сходимость ряда (3) на E
совпадает с поточечной сходимостью на E последователь-
            ∞
            P
ности Sn B     uk его частичных сумм.
             k=1

   Определение 4. Говорят, что ряд (3) сходится на E
равномерно, если последовательность {Sn } его частичных
сумм сходится на E равномерно.
   Следующее определение эквивалентно, очевидно, опре-
делению 4
   Определение 40 . Говорят, что ряд (3) сходится на E
равномерно, если он сходится на E и
                     ∞
                     X
              sup            uk → 0 при n → ∞.
               E    k=n+1

                                              ∞
                                              P (−1)k+1
      Пример 3. Доказать, что ряд                            равномерно
                                              k=1
                                                    k + x2
сходится на множестве E = (−∞, +∞).

Страницы