Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 284 стр.

284   Глава 16. Функциональные последовательности и ряды

    Пример 1. Пусть fn (x) = xn , 0 6 x < 1. Последова-
тельность {fn (x)}∞ 1 сходится поточечно к нулю для ∀ x ∈
∈ [0, 1). Однако она не сходится на [0, 1) равномерно. В са-
мом деле, предельной функцией может быть только f (x) =
= 0 ∀ x ∈ [0, 1). Но
             sup |xn − 0| = 1 6→ 0       при n → ∞.
            x∈[0,1)

Та же последовательность сходится на отрезке [0, q], 0 <
< q < 1, равномерно, т. к. sup |xn − 0| = q n → 0 при
                               x∈[0,q]
n → ∞.
   Пример 2. Пусть непрерывная функция fn :           [0, 1] → R,
n ∈ N,
                                                      1
               
               
               0       при x = 0 и при x >           n,
               
                                 1 ,
       fn (x) = 1       при x = 2n
                          h     i      h               i
               линейна на 0, 1 и на 1 ,           1
               
               
                                      2n        2n n .
  y
  1                           Ясно, что fn (x) → 0 при n →
                              → ∞ ∀ x ∈ [0, 1], но
                                      sup |fn − 0| = 1 6→ 0
                                     x∈[0,1)
                           при n → ∞, так что последо-
  0     1    1        1x вательность {fn } не сходится
       2n    n
          Рис. 16.1        на [0, 1] равномерно.
   Следующее определение эквивалентно определению 2.
   Определение 20 . Говорят, что последовательность (1)
сходится на E равномерно к функции f : E → C, если
∀ ε > 0 ∃ n = n(ε) : |fn (x) − f (x)| < ε ∀ x ∈ E, ∀ n > n(ε).
   Подчеркнем, что в определении 20 n = n(ε) не зависит
от x ∈ E. Если же в этом определении заменить n(ε) на
n(x, ε), т. е. считать n(ε) зависящим еще и от x, то оно
превращается в определение (поточечной) сходимости на
множестве E.