Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 278 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

278 Глава 15. Числовые ряды
Последовательность чисел a
k
=
1
k
α
монотонно стремится
к нулю. Покажем, что последовательность сумм
n
P
k=1
sin kx
ограничена.
Имеем при x 6= 2mπ, m ∈ Z:
n
X
k=1
sin kx =
1
2 sin
x
2
n
X
k=1
2 sin 2 sin
x
2
sin kx =
=
1
2 sin
x
2
cos
k −
1
2
x − cos
k +
1
2
x
,
так что
n
X
k=1
sin kx
6
1
sin
x
2
.
Следовательно, сходимость ряда (6) следует из при-
знака Дирихле при x 6= 2mπ, m ∈ Z. Если же x = 2mπ,
то ряд (6) сходится, т. к. все члены его равны нулю.
Аналогично ряду (6) исследуется сходимость ряда
∞
X
k=1
cos kx
k
α
, α > 0, x ∈ R. (7)
При x 6= 2mπ, m ∈ Z, имеем
n
P
k=1
cos kx
6
1
sin
x
2
, и ряд (7)
сходится по признаку Дирихле.
При x = 2mπ, m ∈ Z, ряд (7) превращается в ряд
∞
P
k=1
1
k
α
, сходимость которого зависит от α и исследована в
примере 15.2.1.
Пример 3. Пусть {a
k
} — монотонная ограниченная
последовательность.
Тогда ряд
∞
X
k=1
a
k
sin kx
k
α
, α > 0, x ∈ R,
278                       Глава 15. Числовые ряды

Последовательность чисел ak = k1α монотонно стремится
                                              n
                                              P
к нулю. Покажем, что последовательность сумм    sin kx
                                                                   k=1
ограничена.
   Имеем при x 6= 2mπ, m ∈ Z:
n                          n
X                   1 X                  x
      sin kx =                2 sin 2 sin sin kx =
                 2 sin x2                2
k=1                       k=1
                                                            
                             1               1               1
                       =            cos k −      x − cos k +    x ,
                          2 sin x2           2               2
так что
                          n
                          X                       1
                                sin kx 6                 .
                          k=1                  sin x2
   Следовательно, сходимость ряда (6) следует из при-
знака Дирихле при x 6= 2mπ, m ∈ Z. Если же x = 2mπ,
то ряд (6) сходится, т. к. все члены его равны нулю.
   Аналогично ряду (6) исследуется сходимость ряда
                    ∞
                    X cos kx
                                   ,     α > 0,       x ∈ R.             (7)
                              kα
                    k=1
                                          n
При x 6= 2mπ, m ∈ Z, имеем
                                          P
                                               cos kx 6        1 , и ряд (7)
                                         k=1                 sin x
                                                                 2
сходится по признаку Дирихле.
   При x = 2mπ, m ∈ Z, ряд (7) превращается в ряд
 ∞
P    1
    k α , сходимость которого зависит от α и исследована в
k=1
примере 15.2.1.
   Пример 3. Пусть {ak } — монотонная ограниченная
последовательность.
   Тогда ряд
                   ∞
                   X          sin kx
                         ak          ,    α > 0,        x ∈ R,
                                kα
                   k=1

Страницы