Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 276 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

276 Глава 15. Числовые ряды
Пусть произвольное
B
0
∈ R, B
k
B B
0
+
k
X
j=1
b
j
(1 6 k 6 n). (4)
Тогда b
k
= B
k
− B
k−1
(1 6 k 6 n),
S
n
=
n
X
k=1
a
k
(B
k
− B
k−1
) =
n
X
k=1
a
k
B
k
−
n
X
k=1
a
k
B
k−1
.
Заменив в последней сумме k на k+1, получаем формулу
n
X
k=1
a
k
b
k
= a
n
B
n
− a
1
B
0
−
n−1
X
k=1
(a
k+1
− a
k
)B
k
, (5)
называемую преобразованием Абеля суммы
n
P
k=1
a
k
b
k
. Она
является аналогом формулы интегрирования по частям и
чаще всего используется при B
0
= 0.
Теорема 2 (признак Дирихле). Пусть числа a
k
мо-
нотонно стремятся к нулю, а последовательность частич-
ных сумм ряда
∞
P
k=1
b
k
ограничена.
Тогда ряд
∞
P
k=1
a
k
b
k
сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В обозначениях (4) при B
0
=
= 0 применим преобразование Абеля (5) к частичной сумме
ряда
∞
P
k=1
a
k
b
k
. Изучим поведение правой части (5) при n →
→ ∞.
a
n
B
n
→ 0 при n → ∞ в силу ограниченности последо-
вательности {B
n
} и условия a
n
→ 0 (n → ∞).
Сумма в правой части (5) стремится к конечному пре-
делу, поскольку она является частичной суммой сходяще-
гося (и притом абсолютно) ряда.
276                        Глава 15. Числовые ряды

      Пусть произвольное
                                        k
                                        X
             B0 ∈ R,       B k B B0 +         bj     (1 6 k 6 n).           (4)
                                        j=1

Тогда bk = Bk − Bk−1 (1 6 k 6 n),
              n
              X                         n
                                        X                 n
                                                          X
       Sn =         ak (Bk − Bk−1 ) =          ak Bk −          ak Bk−1 .
              k=1                       k=1               k=1

      Заменив в последней сумме k на k+1, получаем формулу
          n
          X                                   n−1
                                              X
                ak bk = an Bn − a1 B0 −             (ak+1 − ak )Bk ,        (5)
          k=1                                 k=1
                                                                n
                                                                P
называемую преобразованием Абеля суммы                              ak bk . Она
                                                             k=1
является аналогом формулы интегрирования по частям и
чаще всего используется при B0 = 0.

   Теорема 2 (признак Дирихле). Пусть числа ak мо-
нотонно стремятся к нулю, а последовательность частич-
              P∞
ных сумм ряда    bk ограничена.
                     k=1
                    ∞
                    P
      Тогда ряд           ak bk сходится.
                    k=1

   Д о к а з а т е л ь с т в о. В обозначениях (4) при B0 =
= 0 применим преобразование Абеля (5) к частичной сумме
     P∞
ряда     ak bk . Изучим поведение правой части (5) при n →
       k=1
→ ∞.
   an Bn → 0 при n → ∞ в силу ограниченности последо-
вательности {Bn } и условия an → 0 (n → ∞).
   Сумма в правой части (5) стремится к конечному пре-
делу, поскольку она является частичной суммой сходяще-
гося (и притом абсолютно) ряда.

Страницы