Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 273 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15.3. Абсолютно сходящиеся ряды 273
Д о к а з а т е л ь с т в о. Абсолютная сходимость ряда
∞
P
k=1
a
∗
k
, т. е. сходимость ряда
∞
P
k=1
|a
∗
k
|, следует из ограни-
ченности последовательности частичных сумм последнего:
n
X
k=1
|a
∗
k
| 6
∞
X
k=1
|a
k
| ∀n ∈ N.
Установим равенство (2).
Пусть S B
∞
P
k=1
a
k
, S
n
B
n
P
k=1
a
k
, S
∗
n
B
n
P
k=1
a
∗
k
.
Для каждого n ∈ N найдется, очевидно, такое N =
= N (n) > n, что все слагаемые суммы S
∗
n
содержатся в
сумме S
N
. Тогда при m > N
|S
m
− S
∗
n
| 6 |a
∗
n+1
| + |a
∗
n+2
| + . . . C ρ
∗
n
,
где ρ
∗
n
— остаток после n-го члена ряда
∞
P
k=1
a
∗
k
.
Переходя в этом неравенстве к пределу при m → ∞,
получаем
|S − S
∗
n
| 6 ρ
∗
n
∀n ∈ N.
Но ρ
∗
n
→ 0 при n → 0, как остаток сходящегося ряда. Сле-
довательно, S
∗
n
→ S при n → ∞, что равносильно (2).
Теорема 3. Пусть ряды
∞
P
k=1
a
k
,
∞
P
k=1
b
k
сходятся абсо-
лютно. Тогда ряд
∞
X
j=1
a
k
j
b
m
j
, (3)
составленный из всевозможных (без повторений) попарных
произведений членов исходных рядов, сходится абсолютно
и сумма его
∞
X
j=1
a
k
j
b
k
j
=
∞
X
k=1
a
k
!
∞
X
k=1
b
k
!
. (4)
               § 15.3. Абсолютно сходящиеся ряды                              273

      Д о к а з а т е л ь с т в о. Абсолютная сходимость ряда
∞                                     ∞
      a∗k , т. е. сходимость ряда       |a∗k |, следует из ограни-
P                                    P
k=1                                          k=1
ченности последовательности частичных сумм последнего:
                    n
                    X                ∞
                                     X
                          |a∗k | 6         |ak |    ∀ n ∈ N.
                    k=1              k=1

Установим равенство (2).
              ∞           n            n
                            ak , Sn∗ B   a∗k .
             P            P            P
   Пусть S B    ak , Sn B
                  k=1                 k=1                   k=1
   Для каждого n ∈ N найдется, очевидно, такое N =
= N (n) > n, что все слагаемые суммы Sn∗ содержатся в
сумме SN . Тогда при m > N
             |Sm − Sn∗ | 6 |a∗n+1 | + |a∗n+2 | + . . . C ρ∗n ,
                                                                ∞
где ρ∗n — остаток после n-го члена ряда                               a∗k .
                                                                P
                                                                k=1
   Переходя в этом неравенстве к пределу при m → ∞,
получаем
                  |S − Sn∗ | 6 ρ∗n ∀ n ∈ N.
Но ρ∗n → 0 при n → 0, как остаток сходящегося ряда. Сле-
довательно, Sn∗ → S при n → ∞, что равносильно (2).
                                             ∞
                                             P             ∞
                                                           P
      Теорема 3. Пусть ряды                        ak ,         bk сходятся абсо-
                                            k=1           k=1
лютно. Тогда ряд
                                ∞
                                X
                                      akj bmj ,                               (3)
                                j=1
составленный из всевозможных (без повторений) попарных
произведений членов исходных рядов, сходится абсолютно
и сумма его
             ∞            ∞
                               ! ∞ !
             X            X       X
                akj bkj =   ak        bk .          (4)
                 j=1                  k=1                 k=1

Страницы