Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 270 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

270 Глава 15. Числовые ряды
то ряд
∞
P
k=1
a
k
расходится, и даже его общий член не
стремится к нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. В силу сходимости ряда
∞
P
k=1
q
k
и оценки a
k
6 q
k
(∀k > k
0
) ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится по
признаку сравнения (теорема 2).
2
◦
. Ряд
∞
P
k=1
a
k
расходится, т. к. его общий член не стре-
мится к нулю.
Предельная форма признака Коши имеет вид
Теорема 7 (признак Коши). Пусть a
k
> 0 ∀k ∈ N и
lim
k→∞
k
√
a
k
= q.
Тогда
1.
◦
если q < 1, то ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится;
2.
◦
если q > 1, то ряд
∞
P
k=1
a
k
расходится, и даже его
общий член не стремится к нулю;
3.
◦
если q = 1, то ряд
∞
P
k=1
a
k
может быть как сходя-
щимся, так и расходящимся.
Следствие 2. Утверждение теоремы 7 сохранится,
если в ней условие lim
k→∞
k
√
a
k
= q заменить на условие
∃ lim
k→∞
k
√
a
k
= q.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 7. 1
◦
. Пусть q < q
0
<
< 1. Тогда ∃k
0
:
k
√
a
k
6 q
0
< 1 ∀k > k
0
. Ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится
по теореме 6.
2
◦
. Из определения верхнего предела следует, что
∀k
0
: ∃k > k
0
:
k
√
a
k
> 1.
270                         Глава 15. Числовые ряды
                     ∞
                     P
            то ряд         ak расходится, и даже его общий член не
                     k=1
            стремится к нулю.
      Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ .     В силу сходимости ряда
∞                                                   ∞
      qk                       qk
P                                                   P
            и оценки ak 6           (∀ k > k0 ) ряд   ak сходится по
k=1                                                   k=1
признаку сравнения (теорема 2).
            ∞
   2◦ . Ряд
            P
              ak расходится, т. к. его общий член не стре-
                k=1
мится к нулю.
   Предельная форма признака Коши имеет вид
      Теорема 7 (признак Коши). Пусть ak > 0 ∀ k ∈ N и
                          √
                      lim k ak = q.
                               k→∞
Тогда
                                    ∞
      1.◦ если q < 1, то ряд
                                    P
                                          ak сходится;
                                    k=1
                                        ∞
      2.◦ если q > 1, то ряд
                                        P
                                              ak расходится, и даже его
                                      k=1
            общий член не стремится к нулю;
                                ∞
      3.◦
                                P
            если q = 1, то ряд    ak может быть как сходя-
                                        k=1
            щимся, так и расходящимся.

   Следствие 2. Утверждение теоремы 7 сохранится,
                       √
если в ней условие lim k ak = q заменить на условие
                   k→∞
                            √
                     ∃ lim k ak = q.
                                k→∞

   Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 7. 1◦ . Пусть q < q0 <
                   √                           P∞
< 1. Тогда ∃ k0 : k ak 6 q0 < 1 ∀ k > k0 . Ряд    ak сходится
                                                            k=1
по теореме 6.
   2◦ . Из определения верхнего предела следует, что
                                   √
                 ∀ k0 : ∃ k > k0 : k ak > 1.

Страницы