Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 268 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

268 Глава 15. Числовые ряды
ческой прогрессии:
S
n
=
∞
X
k=0
q
k
=
1 − q
n+1
1 − q
=
1
1 − q
−
q
n+1
1 − q
, q 6= 1.
Теорема 4 (признак Даламбера). Пусть a
k
> 0
∀k ∈ N. Тогда
1.
◦
если существует число q < 1 такое, что при некото-
ром k
0
a
k+1
a
k
6 q < 1 ∀k > k
0
,
то ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится;
2.
◦
если при некотором k
0
a
k+1
a
k
> 1 ∀k > k
0
,
то ряд
∞
P
k=1
a
k
расходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. При k > k
0
из a
k+1
6 qa
k
следует, что
a
k
6 q
k−k
0
a
k
0
= c
0
q
k
C b
k
.
Тогда сходимость ряда
∞
P
k=1
a
k
следует в силу признака
сравнения (теорема 2) из сходимости ряда (4).
2
◦
. Из a
k+1
> a
k
> 0 следует, что общий член ряда
∞
P
k=1
a
k
не стремится к нулю. Следовательно, ряд
∞
P
k=1
a
k
рас-
ходится.
Теорема 5 (признак Даламбера). Пусть a
k
> 0
∀k ∈ N и существует
lim
k→∞
a
k+1
a
k
= q.
Тогда
1.
◦
если q < 1, то ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится;
268                   Глава 15. Числовые ряды

ческой прогрессии:
           ∞
          X        1 − q n+1    1   q n+1
     Sn =     qk =           =    −       ,      q 6= 1.
                     1−q       1−q 1−q
             k=0

    Теорема 4 (признак Даламбера).            Пусть ak > 0
∀ k ∈ N. Тогда
    1.◦ если существует число q < 1 такое, что при некото-
        ром k0
                      ak+1
                           6 q < 1 ∀ k > k0 ,
                       ak
               ∞
               P
        то ряд    ak сходится;
                k=1
      2.◦ если при некотором k0
                          ak+1
                               > 1 ∀ k > k0 ,
                           ak
                 ∞
                 P
          то ряд    ak расходится.
                k=1
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . При k > k0 из ak+1 6 qak
следует, что
                  ak 6 q k−k0 ak0 = c0 q k C bk .
                               P∞
      Тогда сходимость ряда       ak следует в силу признака
                              k=1
сравнения (теорема 2) из сходимости ряда (4).
   2◦ . Из ak+1 > ak > 0 следует, что общий член ряда
P∞                                            ∞
                                              P
   ak не стремится к нулю. Следовательно, ряд   ak рас-
k=1                                               k=1
ходится.
    Теорема 5 (признак Даламбера). Пусть ak > 0
∀ k ∈ N и существует
                              ak+1
                         lim       = q.
                        k→∞ ak
Тогда
                             ∞
    1.◦ если q < 1, то ряд
                            P
                               ak сходится;
                            k=1

Страницы