Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 266 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

266 Глава 15. Числовые ряды
Поэтому (эквивалентная сходимость ряда
∞
P
k=1
f(k)) ограни-
ченность последовательности частичных сумм ряда
∞
P
k=1
a
k
эквивалентна ограниченности последовательности инте-
гралов
R
n+1
1
f(x) dx, которая эквивалентна (в силу неотри-
цательности f) ограниченности
R
b
0
1
f(x) dx как функции b
0
.
Последняя по теореме 14.7.2 эквивалентна сходимости ин-
теграла
R
∞
1
f(x) dx.
Неравенства (2) имеют простой геометрический смысл.
Интеграл в (2) равен площади криволинейной трапеции с
основанием [1, n + 1], ограниченной сверху графиком функ-
ции f.
x
y
0
1 2 3
n
n + 1
Рис. 15.1
Сумма в левой части (2) равна сумме площадей пря-
моугольников, покрывающих криволинейную трапецию, а
сумма в правой части (2) — сумме площадей прямоуголь-
ников, содержащихся в этой криволинейной трапеции.
Пример 1. Ряд
∞
P
k=1
1
k
α
расходится при α 6 0, т. к. его
общий член не стремится к нулю. Ряд
∞
P
k=1
1
k
α
сходится при
α > 1 и расходится при 0 < α 6 1, что в силу интегрального
признака следует из сходимости интеграла
R
∞
1
1
x
α
dx при
α > 1 и его расходимости при 0 < α 6 1.
266               Глава 15. Числовые ряды
                                             ∞
                                             P
Поэтому (эквивалентная сходимость ряда             f (k)) ограни-
                                             k=1
                                                             ∞
                                                             P
ченность последовательности частичных сумм ряда                  ak
                                                           k=1
эквивалентна
        R n+1 ограниченности последовательности инте-
гралов 1 f (x) dx, которая эквивалентна (в силу неотри-
                                 R b0
цательности f ) ограниченности 1 f (x) dx как функции b0 .
ПоследняяR ∞по теореме 14.7.2 эквивалентна сходимости ин-
теграла 1 f (x) dx.
   Неравенства (2) имеют простой геометрический смысл.
Интеграл в (2) равен площади криволинейной трапеции с
основанием [1, n + 1], ограниченной сверху графиком функ-
ции f .
      y




      0     1    2     3                n      n+1       x
                           Рис. 15.1

   Сумма в левой части (2) равна сумме площадей пря-
моугольников, покрывающих криволинейную трапецию, а
сумма в правой части (2) — сумме площадей прямоуголь-
ников, содержащихся в этой криволинейной трапеции.
                   ∞
   Пример 1. Ряд
                   P    1
                       k α расходится при α 6 0, т. к. его
                     k=1
                                       ∞
общий член не стремится к нулю. Ряд
                                       P  1
                                         k α сходится при
                                       k=1
α > 1 и расходится при 0 < α 6 1, что в силу интегрального
                                             R∞
признака следует из сходимости интеграла 1 x1α dx при
α > 1 и его расходимости при 0 < α 6 1.

Страницы