Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 264 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

264 Глава 15. Числовые ряды
§ 15.2. Числовые ряды с неотрицательными
членами
Будем изучать числовые ряды вида
∞
X
k=1
a
k
, a
k
> 0. (1)
Теорема 1. Для сходимости ряда (1) необходима и до-
статочна ограниченность последовательности е го частич-
ных сумм.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что последователь-
ность частичных сумм ряда (1) возрастает, так что ее огра-
ниченность эквивалентна ее сходимости.
Теорема 2. Пусть при некотором k
0
0 6 a
k
6 b
k
∀k > k
0
. Тогда
1.
◦
сходимость ряда
∞
P
k=1
b
k
влечет сходимость ряда
∞
P
k=1
a
k
;
2.
◦
расходимость ряда
∞
P
k=1
a
k
влечет расходимость ряда
∞
P
k=1
b
k
.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
1.
◦
Пусть ряд
∞
P
k=1
b
k
сходится. Тогда последователь-
ность его частичных сумм (как сходящаяся или по
теореме 1) ограничена. Следовательно, последова-
тельность частичных сумм ряда
∞
P
k=1
a
k
ограничена.
По теореме 1 ряд
∞
P
k=1
a
k
сходится.
264                    Глава 15. Числовые ряды

  § 15.2. Числовые ряды с неотрицательными
                    членами
      Будем изучать числовые ряды вида
                         ∞
                         X
                               ak ,     ak > 0.                (1)
                         k=1



   Теорема 1. Для сходимости ряда (1) необходима и до-
статочна ограниченность последовательности его частич-
ных сумм.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что последователь-
ность частичных сумм ряда (1) возрастает, так что ее огра-
ниченность эквивалентна ее сходимости.

    Теорема 2.         Пусть при некотором k0 0 6 ak 6 bk
∀ k > k0 . Тогда
                                ∞
      1.◦ сходимость ряда
                                P
                                       bk влечет сходимость ряда
                                k=1
          ∞
          P
               ak ;
         k=1
                                 ∞
      2.◦ расходимость ряда
                                 P
                                       ak влечет расходимость ряда
                                k=1
          ∞
          P
               bk .
         k=1
      Д о к а з а т е л ь с т в о.
                         ∞
      1.◦ Пусть ряд
                        P
                            bk сходится.      Тогда последователь-
                      k=1
         ность его частичных сумм (как сходящаяся или по
         теореме 1) ограничена. Следовательно, последова-
                                        ∞
                                        P
         тельность частичных сумм ряда     ak ограничена.
                                                     k=1
                               ∞
                               P
         По теореме 1 ряд             ak сходится.
                             k=1

Страницы