Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 261 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 15
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 15.1. Сходимость числового ряда
Определение 1. Символ
a
1
+ a
2
+ a
3
+ . . . или
∞
X
k=1
a
k
, (1)
где a
k
∈ R, называется числовым рядом, a
k
— его членом, а
S
n
=
n
P
k=1
a
k
— n-й частичной (или частной) суммой этого
ряда.
Ряд (1) называется сходящимся (к S), если последова-
тельность {S
n
}
∞
1
его частичных сумм сходится (к S).
В этом случае число S = lim
n→∞
S
n
называют суммой ряда
и пишут
a
1
+ a
2
+ . . . = S или
∞
X
k=1
a
k
= S.
Таким образом, в этом случае под a
1
+ a
2
+ . . . (
∞
P
k=1
a
k
)
понимают также число.
Если последовательность {S
n
}
∞
1
расходится, то ряд (1)
называют расходящимся. Пишут также
∞
P
k=1
a
k
= +∞, если
S
n
→ +∞, и
∞
P
k=1
a
k
= −∞, если S
n
→ −∞ при n → ∞.
Из определения видно, что изучение сходимости и дру-
гих свойств рядов сводится к изучению или переформули-
ровке соответствующих свойств последовательностей.
Пример 1. Ряд
1 − 1 +
1
2
−
1
2
+
1
3
−
1
3
+
1
4
−
1
4
+ . . .
сходится.
                  Глава 15
              ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

        § 15.1. Сходимость числового ряда
   Определение 1. Символ
                                          ∞
                                          X
             a1 + a2 + a3 + . . . или           ak ,         (1)
                                          k=1
где ak ∈ R, называется числовым рядом, ak — его членом, а
      Pn
Sn =     ak — n-й частичной (или частной) суммой этого
     k=1
ряда.
   Ряд (1) называется сходящимся (к S), если последова-
тельность {Sn }∞
               1 его частичных сумм сходится (к S).
   В этом случае число S = lim Sn называют суммой ряда
                              n→∞
и пишут
                                   ∞
                                   X
           a1 + a2 + . . . = S или    ak = S.
                                        k=1
                                                        ∞
                                                        P
   Таким образом, в этом случае под a1 + a2 + . . . (        ak )
                                                       k=1
понимают также число.
   Если последовательность {Sn }∞
                                1 расходится, то ряд (1)
                                      P∞
называют расходящимся. Пишут также       ak = +∞, если
                                              k=1
             ∞
             P
Sn → +∞, и         ak = −∞, если Sn → −∞ при n → ∞.
             k=1
   Из определения видно, что изучение сходимости и дру-
гих свойств рядов сводится к изучению или переформули-
ровке соответствующих свойств последовательностей.
   Пример 1. Ряд
                  1 1 1 1 1 1
           1 − 1 + − + − + − + ...
                  2 2 3 3 4 4
сходится.

Страницы